NO.10405591
★●市原中央高校って？
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655 名前：匿名さん：2009/08/15 09:22
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やれやれやっと完答できました。
(1)
求めるxy平面上の直線の方程式上の点を(x,y,0)とおく。
題意より、(x,y,0)の(1,1,1)への射影ベクトルが(t/3,t/3,t/3)となる。
すなわち、(x+y+0)/1+1+1*(1,1,1)=(t/3,t/3,t/3)
よってx+y=t, z=0と求まる。
(2)
T(t/3,t/3,t/3)とおく。また、xy平面においてx+y=tと、
y=x(1-x)の0≦x≦1における交点をP、x軸との交点をQ、y=xとの交点をHとおくと、
H(t/2,t/2), P(1-√(1-t),t-1+√(1-t)), Q(t,0)
このとき、0≦x≦1でP,Qが交点を持つためには、0≦t≦1である。
(1)の結果より、領域D内のx+y=t上の点はT(t/3,t/3,t/3)を中心に回転する。
よって求める回転体を、Tを通りLに垂直な平面で切断したときの断面積S(t)は、
S(t)=π(TQ^2-TP^2)
ここで、TH⊥HQより TQ^2=TH^2+HQ^2, TP^2=TH^2+HP^2
HP=√2 *{t/2-1+√(1-t)}, HQ=√2 *(t-t/2)=t/√2
∴S(t)=π(TH^2+HQ^2-TH^2-HP^2)
=π(HQ^2-HP^2)
=π[t^2/2 - 2*{t/2-a+√(1-t)}^2]
=2π{2(t-1)+(2-t)√(1-t)}
よって求める回転体の体積Vは、
V=∫S(t)dt/√3 ※以下積分範囲は0→1
=2π/√3 ∫{2(t-1)+(2-t)√(1-t)}dt
=2π/√3 ∫{-2x+(x+1)√x}dx （x=1-tと置換、積分範囲は0→1に)
=2π/√3 [-x^2+2/5*x^(5/2)+2/3*x^(3/2)]
=2π/√3 * 1/15
=2√3π/45