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685 名前：元塾講師：2008/06/26 10:31
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?）必要性の証明 （“〔n〕が27で割り切れる ⇒ nが27の倍数”を証明する）
n を27で割った余りを rとおく（0≦r≦26）。
〔n〕= 111 …111（１がn個）を上の桁から27個ずつ区切って考えると、
〔n〕=〔27〕×10^α+〔27〕×10^β + …… +〔27〕×10^δ +〔r〕（α、β、…、δは整数）
と書けるのであるが〔27〕は（１）より27の倍数であるから、〔n〕が27で割り切れるとすると
〔r〕が27で割り切れるということになる。
しかし、1つずつ考えるに、
＜〔1〕～〔8〕は27の倍数どころか9の倍数ですらない。（例えば〔3〕 = 111 〔6〕 = 111111 は3の倍数であるが、9の倍数でない）
〔9〕は9の倍数であるが27の倍数でない。
〔10〕～ 〔17〕 は9 の倍数でない。（例えば〔15〕 ＝ 111111111111111(1が15個並んでいる) ＝〔9〕×10^6 + 〔6〕 であるが、
〔9〕は9の倍数であるが、〔6〕は9の倍数でないから〔15〕は9の倍数ではない）
〔18〕は9の倍数であるが27の倍数でない。
〔19〕～ 〔26〕 は9 の倍数ですらない。 まとめると… ＞
〔1〕～〔26〕はいずれも27の倍数でないので、〔r〕が27で割り切れるときr = 0 が必要である。つまりnが27で割り切れる。