NO.10389757
みんなで難関大数学を攻略しよう！
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313 名前：元塾講師：2006/01/11 09:07
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解答：P ( p , p＾2) 、Q ( q , q＾2) とおく。ここで（必要ならPとQを入れ替えて考えることに
より）p＜q としても一般性は失われない。
まずPQの傾きが√2であるから、 (q＾2 - p＾2)/( q - p) = p + q = √2 …?
また、傾き√2の斜面をもつ直角三角形の辺の長さの比は１：√2：√3であるから
PQの長さは√3( q - p) 。これがaに等しいので、q - p = a/√3 …?
?＾2 + ?＾2 より p＾2 + q＾2 = 1 + (a＾2/6) 。よってPQの中点Mは（√2/2 , 1/2 + (a＾2/12)）
ここでRは直線PQより上にあるので、〔∵Rが直線PQの下にあるとすれば、∠PQRは
cosα= √3/√2なる角αより小さく60°になることはないから〕
RはMから、ベクトル（ -√2 , 1）の方向に長さ（√3/2）a だけ進んだ点であり、
ベクトルOR = ベクトルOM + （√3/2）a ・ 1/√3（ -√2 , 1）
= (√2(1 - a) /2 , (a＾2 + 6a + 6)/12)
このRがy = x＾2上にあるので(a＾2 + 6a + 6)/12 = (1 - a)＾2 /2 ⇔ (3/2) a = (5/12) a＾2
∴ a = 18/5 (∵ a≠0) …（答）