NO.10389757
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284 名前：Master ◆mxnad08k：2005/12/04 02:19
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とりあえず、このスレの問1の別解の紹介から。
[例題1]
すべての正の実数x , yに対し√x＋√y≦k√(２x＋y)
が成り立つような実数 ｋの最小値を求めよ。 （１９９５東大）
[理系用の解答](数学?の微分の知識が必要)
与えられた不等式は、
k≧(√x＋√y)/√(２x＋y) =(√t +1)/√(2t+1). ( t = x/y > 0)
これが、任意の正数x,y,すなわち任意の正数 t に対して成り立つための条件は、
右辺 f(t)=(√t +1)/√(2t+1) の最大値 M があれば、
k≧M であるから、求めるものは M で、
f’(t) = {1/(2t+1)}{√(2t+1)/2√t - (√t +1)/√(2t+1) }
=(1-2√t)/{2(2t+1)√t√(2t+1)}
により、f(t) はt=1/4 で極大かつ最大となるから、
M=f(1/4)=(1/2+1)/√(3/2) = √(3/2) (= √6/2) ■
(解説)
各項における、x,y の次数が一定の数式を同次式という。
(本問の場合は1/2次の同次式となっている。)
同次式では、t = x/y と置くのが定石で、これにより、
2変数x,y の式が t の1変数の式にすることができる。
理系の人ならこの解答が一番スタンダードで、必ず身につけてほしい手法です。
★本問で用いたテクニック★
「文字定数の分離」（←解答2行目）
「同次式ではt = x/y と置く」