NO.10389757
みんなで難関大数学を攻略しよう！
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256 名前：元塾講師：2005/10/10 22:00
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解答： 示すべき式の両辺を展開し、Σ｛j = 1～n｝Yj＾2 =Σ｛j = 1～n｝Zj＾2に注意すれば、
これはΣ｛j = 1～n｝XjYj ≧Σ｛j = 1～n｝XjZj と同値である。この式は、
「n項からなる広義の減少数列｛Xn｝と｛Yn｝の中から1つずつ取り出して積を作るとき、その積
の和が、Σ｛j = 1～n｝XjYj を越えないこと」（※）を意味する。
以下これをnについての数学的帰納法により示す。
?）n = 2 のときについて：、X1≧ X2 , Y1≧ Y2 のとき、X1Y1 ＋X2Y2 ≧X1Y2 ＋X2Y1 ⇔
(X1 - X2)(Y1 - Y2)≧0が成立するので（※）はn = 2のとき確かに成立する。
?）１以上の整数nにおいて、（※）が成立するものと仮定する。
n + 1項からなる広義の減少数列｛Xn｝と｛Yn｝の中から1つずつ取り出して積を作ることを
考えXn+1とYp , Yn+1とXq の組み合わせを考えると、積の和にXn+1Yp ＋Yn+1Xqという
項が入るが、ここでこの4数の組み合わせを入れ替えて、XqYp ＋Xn+1 Yn+1とした場合、
積の和をより大きく又は等しくすることが出来る（少なくとも小さくならない）。なぜなら、
(XqYp ＋Xn+1 Yn+1) - (Xn+1Yp ＋Yn+1Xq) = (Xn+1 - Xq)(Yn+1 - Yp)≧0であるから。
次にXn+1 Yn+1を除いて、他の｛Xi｝と｛Yi｝（i = 1, 2 ,…, n）の組み合わせについては、仮定
より、Xj とYj を組合せていく(j = 1,2,…, n)方が他の組み合わせより大きくなるか等しい。
以上より n + 1項からなる広義の減少数列｛Xn｝と｛Yn｝の中から1つずつ取り出し場合の
組み合わせとしても、Xj とYj を組合せていく(j = 1,2,…, n,n+1)方が他のどのような組み
合わせよりも小さくなることはない。これは（※）がn+1においても成立することを示す。