NO.10389757
みんなで難関大数学を攻略しよう！
-
16 名前：通りすがりの元鉄緑会大阪校の講師：2005/08/17 09:53
-
解答その１：
a＾x≧ax ⇔ x log a ≧log a+ log x ⇔ (log a) x - log x ≧ log a ☆
ここで左辺をf(x) ｛定義域ｘ>0｝とおくと、ｆ'(x)=log a- 1/x なのでf(x)はx=1/log a において
極小かつ定義域内で最小となるから、☆がすべての正の数xに対し成立する条件は
f(1/log a)≧ log a⇔1-log(1/log a)≧log a⇔log(e log a)≧log a⇔e log a≧a⇔ (log a)/a≧1/e
ここでｇ（ｘ）=(logx)/x ｛定義域ｘ>0｝について、g'(x)=(1-logx)/x＾2であり、g(x)はx=eにおいて
極大かつ最大であり、最大値はg(e)=1/eであるから g(a)≧1/eなるaはeに限られる
（aがe以外であればｇ（a）<1/eなのでg(a)が1/e以上になることはない） （答）a=e
解説：
言わずもがな
「すべての～に対し不等式が成立⇒最小になる（あるいは最大になる）ときさえ成立する」という考えである。
(log a)/a≧1/e で、いったんaの条件は出ているが、もちろんこれを更に整理して答える必要があろう。