NO.10389757
みんなで難関大数学を攻略しよう！
-
138 名前：匿名さん：2005/09/11 12:46
-
別解：
等比数列の和の公式より、λ≠１のとき、
1 + λ+ λ＾2 +…… +λ＾(n-1) = (1-λ＾n)/1-λ
ここでλ= cosθ+ ｉ ｓｉｎθ （cosθ≠１）とおくと、
右辺 = Σ｛k = 0～(n-1)｝cos kθ + ｉ Σ｛k = 0～(n-1)｝ｓｉｎkθ
左辺 = ｛(1- cos nθ) - ｉ ｓｉｎ nθ｝/｛(1- cos θ) - ｉ ｓｉｎ θ｝
= 2ｓｉｎ (nθ/2)・｛ｓｉｎ (nθ/2)- ｉ cos (nθ/2)｝ /2ｓｉｎ (θ/2)・｛ｓｉｎ (θ/2)- ｉ cos (θ/2)｝
= ｓｉｎ (nθ/2) ・｛cos ((n -1)θ/2) + ｉ ｓｉｎ((n -1)θ/2)｝ / ｓｉｎ (θ/2)
= ｓｉｎ (nθ/2) ・｛cos ((n -1)θ/2) ｝/ ｓｉｎ (θ/2)+
ｉ ｓｉｎ (nθ/2) ・｛ｓｉｎ((n -1)θ/2)｝ / ｓｉｎ (θ/2)
よって両辺の虚部を比較して
Σ｛k = 0～(n-1)｝ｓｉｎkθ＝ ｓｉｎ (nθ/2) ・｛ｓｉｎ((n -1)θ/2)｝ / ｓｉｎ (θ/2)
ここで、θ= π/8, n = 8 とおけば、
Σ｛k=0～7｝ｓｉｎｋπ/8 =ｓｉｎ(7π/16) / ｓｉｎ(π/16) = cos(π/16) / ｓｉｎ(π/16)
= 1/tan(π/16)
ここで一般にtanθ＞θ 〔0＜θ＜π/2〕であるから、tan(π/16) ＞π/16
よってΣ｛k=0～7｝ｓｉｎｋπ/8 = 1/tan(π/16) ＜16/π
またｓｉｎ0 = 0に注意すれば、これはΣ｛k=1～7｝ｓｉｎｋπ/8 ＜16/π ∴示された。