NO.10447589
【夏だよ～】前期の復習！復習！復習！【最優先事項】
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312 名前：310：2006/08/23 02:03
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盲点Aのような話になるんで申し訳ないんだが。
>>311
共通解の問題になるというのはとりあえずいいかな。
xとyをうまく定めてやれば、2つの式から同じ解tが得られる。そういうx、yの条件を求めることに問題が帰着されてる。
で、(x,y)をＸ、tをＹとでも考えると、ＸとＹはセットで定まるから、共通解問題は結局連立方程式の問題で、
ここから先は普通の連立方程式を解くのと同じ手順になる。
で、次数下げというと大げさに聞こえるかもしれないけど、連立方程式を解く時に無意識のうちにやってるんだよね。
つまり、例えば
x+2y-6=0 かつ 3x-y+3=0
という連立方程式があったときに、xの係数を揃えて2つの式の差をとったらyだけの式になるから、
これは結果的にはxの次数を下げたのと同じことになる。
ここで、天下り的で申し訳ないが、加減法の原理を紹介しておけば、
ad-bc≠0のとき、
f(x,y)=0 かつ g(x,y)=0
⇔af(x,y)+bf(x,y)=0 かつ cf(x,y)+d(x,y)=0
右向きの矢印は常に成り立つ。左向きは ad-bc≠0 のときに限り成り立つ。証明は簡単だがとりあえず省く。
a、b、c、dは数でも文字でも式でも構わない。数の例は上記の連立方程式。
以下、話は少し脱線。敢えて(203)で具体的に考える(この問では本来は無駄だが)と、>>309にある2つの式
xt^2-t+x=0 …1式
yt^2+y-1=0 …2式
があって、共通解tを持つような(x,y)の条件を考えればよい。だから、普通に連立方程式を解く要領でtの次数を下げる。
その作業が本当に同値なのか？ はとりあえず置いといて、y≠0より、1式-2式×x/yを作る(t^2の係数をそろえる)と、
t=x/y …3式
を得る。ここで確認しておくと、
1×1式+0×2式=1式
0×1式+1×2式=2式
1×1式+(-x/y)×2式=3式
これより、
1式かつ2式 ⇔ 2式かつ3式 (ad-bc=0-1=-1≠0になるから加減法の原理より)
であるから、確かに次数下げの作業は同値。3式を2式に代入して答を得る。
普通、こういう時はわざわざ加減法の原理とかは考えずに、「"文字をかけた方の式"(今でいう2式)と組む」と考えておけばよい。
ちなみに、1式(文字をかけてない方の式)かつ3式は ad-bc=(-x/y)-0=-x/y になる。
つまりxが0の場合には ad-bc=0 となってしまうので、一般的には同値性が保たれない。
ただし、今は x≠0 なので、1式かつ3式としても同値性は失われない。
グダグダ書いたが、「共通解問題は次数下げ」、「文字をかけた時はかけた方の式と組む」くらいの感じでいいと思う。