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0 名前：通りすがりの元鉄緑会大阪校の講師：2005/08/14 15:18

今日はじめて、何かのはずみで、このサイトに来てみて
皆さんが勉強に悩み、打ちこんでいる姿に共感しました。
そこで皆さんの手助けになれるよう今日から数学講義をしようと
思います。（やる気の続く限り）
週１～２問のペースで５０問くらい続ければいいけどなと
思いますので、宜しくね。
なお、題材はすべて過去問です。やはり、教授達が一年に
一回の為に、苦労して作った傑作が多いため、非常に力がつきます。
でも解答はすべて私のオリジナルで書きます。
僕のボケ防止と、何よりも皆様の数学力向上のため、楽しく解きましょう！

では、
問１：すべての正の実数ｘ、ｙに対し√ｘ＋√ｙ≦k√２ｘ＋ｙ
が成り立つような実数ｋの最小値を求めよ。　（１９９５東大）

解答その１：
「すべての正の実数ｘ、ｙに対し、√ｘ＋√ｙ≦k√２ｘ＋ｙ」
⇔「すべての正の実数ｘ、ｙに対し√ｘ＋√ｙ/√２ｘ＋ｙ≦k」?
ここに√２ｘ＝rcosθ √ｙ＝rsinθ　{x＞0 y>0のときr>0 0<θ<π/2}
とおけば右辺＝√1/2・cosθ+sinθ＝√3/2・sin(θ+α)≦√3/2
ここでαはtanα=1/√2なる角。
θ+α=/2のときこの等号は成立するので、√ｘ＋√ｙ/√２ｘ＋ｙのx＞0 y>0
における最大値は√3/2であり?⇔√3/2≦k （答）√3/2

本解答では「置き換えによりいかに式を簡単にしていくか」に注目して欲しい。

516 名前：505：2006/03/13 16:26

>>506
解答ではありませんが、以下のように考えました。

A,Bは任意の2定点であるので、A=Bとすると
2PA^2＝cより PA＝一定
すなわちPは、中心A、半径√(c/2)の円を描く
一般的に円の定義を拡張したものが楕円であるので
求める軌跡はA,Bを焦点とする楕円と推測できる。

517 名前：505：2006/03/13 16:26

実際、AからPBに下ろした垂線の足をHとすると
（A,B,Pが一直線上にある場合はH=Aとする）
条件はPA・PB＋PH・PB＝ｃと書き換えられ、
PA+PB＝ｋ（>0）とすると
PA^2+PB^2+2PA・PB＝ｋ＾2
(PA^2-PH^2)+(PB-PH)^2+2PB・PH+2PA・PB＝ｋ＾2
AH^2+HB^2+2c=k^2
AB^2+2c=k^2
∴c=(k^2-AB^2)/2=一定
で条件を満たす。
これは十分条件に過ぎないが、式を逆にたどれば
Pがこの楕円上にあることも示せる、すなわち必要条件も
証明できる。
……幾何的でエレガントな解法としてはイマイチかもしれません。

518 名前：505：2006/03/13 16:51

あ、もちろん
c>0
となることは
c=(k+AB)(k-AB)=(k+AB)(PA+PB-AB)
と変形して、△PABについての三角不等式から自明です。