NO.10389757

0 名前：通りすがりの元鉄緑会大阪校の講師：2005/08/14 15:18

今日はじめて、何かのはずみで、このサイトに来てみて
皆さんが勉強に悩み、打ちこんでいる姿に共感しました。
そこで皆さんの手助けになれるよう今日から数学講義をしようと
思います。（やる気の続く限り）
週１～２問のペースで５０問くらい続ければいいけどなと
思いますので、宜しくね。
なお、題材はすべて過去問です。やはり、教授達が一年に
一回の為に、苦労して作った傑作が多いため、非常に力がつきます。
でも解答はすべて私のオリジナルで書きます。
僕のボケ防止と、何よりも皆様の数学力向上のため、楽しく解きましょう！

では、
問１：すべての正の実数ｘ、ｙに対し√ｘ＋√ｙ≦k√２ｘ＋ｙ
が成り立つような実数ｋの最小値を求めよ。　（１９９５東大）

解答その１：
「すべての正の実数ｘ、ｙに対し、√ｘ＋√ｙ≦k√２ｘ＋ｙ」
⇔「すべての正の実数ｘ、ｙに対し√ｘ＋√ｙ/√２ｘ＋ｙ≦k」?
ここに√２ｘ＝rcosθ √ｙ＝rsinθ　{x＞0 y>0のときr>0 0<θ<π/2}
とおけば右辺＝√1/2・cosθ+sinθ＝√3/2・sin(θ+α)≦√3/2
ここでαはtanα=1/√2なる角。
θ+α=/2のときこの等号は成立するので、√ｘ＋√ｙ/√２ｘ＋ｙのx＞0 y>0
における最大値は√3/2であり?⇔√3/2≦k （答）√3/2

本解答では「置き換えによりいかに式を簡単にしていくか」に注目して欲しい。

588 名前：匿名さん：2006/10/15 12:26

京大の過去問

589 名前：匿名さん：2006/10/16 06:08

プラチカで十分

590 名前：匿名さん：2006/10/16 07:33

↑私大文系の五味だから無視れ

591 名前：匿名さん：2006/10/16 12:30

590じゃないが京大数学は易しくなったから大丈夫

592 名前：匿名さん：2006/10/16 13:51

↑今上がってるのは阪大数学についてだろﾜﾛｽ

593 名前：匿名さん：2006/10/16 15:29

すまん589で京大だとｵﾓﾀ
基礎極意やれ

594 名前：匿名さん：2006/10/16 16:17

わかりました｡

595 名前：理系の一浪：2006/10/20 00:12

阪大の数学で三完したいのですが過去問やっても思うように解けません。何かアドバイスください。

596 名前：匿名さん：2006/10/20 02:33

今までやった問題集復習しなYO

597 名前：匿名さん：2006/10/20 03:22

荻野の最高峰ショートプログラムの模倣本じゃね?横割系はショートプログラムが最高だと思う｡しかも荻野の最高峰はしがきにこの問題集に載ってる問題解けたらなんでも解けるとかきしょい事書いてた｡

598 名前：匿名さん：2006/10/20 03:27

横割り本は解法の突破口が最高でしyo !

599 名前：理系一浪：2006/10/20 05:43

結局どれをやればいいんでしょう？

600 名前：匿名さん：2006/10/20 06:23

入試の軌跡阪大やって後復習｡阪大なんて4完くらいちょろいだろ?

601 名前：匿名さん：2006/10/20 15:44

↑私大文系五味

602 名前：匿名さん：2006/10/20 16:02

阪大の数学むずいとか言う奴=基地外｡数学は東大以外へちょい

603 名前：匿名さん：2006/10/20 23:09

↑私大文系五味

604 名前：匿名さん：2006/10/21 01:29

>>552

605 名前：匿名さん：2006/10/21 05:57

東大数学は簡単です

606 名前：匿名さん：2006/10/21 08:03

五味黙って

607 名前：匿名さん：2006/10/21 11:07

無能が黙れ

608 名前：匿名さん：2006/10/22 03:34

東大数学は変なテク必要ないから
発想さえ鍛えれば楽勝だな

609 名前：test：2006/10/30 13:26

test

610 名前：元塾講師：2007/02/25 13:27

暇があり、久しぶりにこのスレに戻りました。多くの人にははじめましてというところでしょう。
今日は国立２次があるとのニュースを聞き、暇があったので問題を解いてみました。久しぶりに、
少し書き込んでみます。
みんなで、良問とよい解答・考え方を寄せ合うようなものとしたいので、現役の皆さん、よい
解答あれば、みんなの為にも、自分の為にも書きこんでくださいね。
すべては皆様の数学力アップのためと思ってやっています。

611 名前：元塾講師：2007/02/25 13:30

練習問題１
以下の問いに答えよ。
（１） 　0＜x＜a　を満たす実数x , a に対し、次を示せ。
　2x/a ＜ ∫［a-x , a+x］ (1/t ) dt ＜　x {(1/(a+x)) + (1/(a-x))}
（２） （１）を利用して、次を示せ。
　　　　　　　0.68＜log2＜0.71
　　　　　ただしlog2は2の自然対数を表す。　　　（２００７　東大）

612 名前：元塾講師：2007/02/25 13:31

解答：
(1)
C: ｙ　= 1/t　（定義域a-x ≦t≦ a+x）　のグラフは下に凸であるから、この上の点M
（a, 1/a） における接線LはCの下方にある。Lとt=a-x , t=a+x の交点をA,B とおく。
また、C上の２点P（a-x , 1/(a-x) ） Q (a +x , 1/(a +x)) を結ぶ線分はCの上方にある。
この２点からｔ軸におろした垂線の足をそれぞれP’, Q’ とおくと、
∫［a-x , a+x］ (1/t ) dt はCと t=a-x , t=a+x , x軸で囲まれた部分の面積を表すから、
図より面積比較して　（台形AP’Q’B）＜∫［a-x , a+x］ (1/t ) dt＜（台形PP’Q’Q）
ここで　（台形AP’Q’B）＝横P’Q’　で高さ1/aの長方形の面積＝2x/a
（台形PP’Q’Q）= (PP’ + QQ’) ×P’Q’　×1/2 = x　{(1/(a+x)) + (1/(a-x))}であるから題意を得る。

613 名前：元塾講師：2007/02/25 13:33

(2)
（１）より、2x/a＜ log (a+x) – log(a-x) ＜x　{(1/(a+x)) + (1/(a-x))}
⇔2x/a＜ log (a+x) /(a-x) ＜x　{(1/(a+x)) + (1/(a-x))}　
ここで(a+x) /(a-x)　= k のときを考えると（但しkはk＞1なる実数）、x = a(k-1)/(k+1)
であるから（これは0 ＜x＜a　を満たす）、更に
2(k - 1)/(k +1)＜ log　k ＜(k＾2 -1)/2k と整理される。
ここでk = √2 のときを考えると
(最左辺)= 2(√2 - 1)/( √2 +1) = 2(√2 - 1)＾2 = 6-4√2 ＞0.34 　(∵√2＜1.415)
(最右辺)= 1/2√2 =√2/4 ＜0.355 (∵√2＜1.42)
(中辺)=　(log2)/2 であるから、0.34＜(log2)/2＜0.355 　∴0.68＜log2＜0.71

614 名前：元塾講師：2007/02/25 13:36

解説：
（１） 式の持つ意味を図形的に（視覚的に）考えるという数学の基本的な視点があれば
即解決する。∫は図形的には面積として捉えられる。
（→問題２１、２２、２３を参照してください）
（２） はじめは、log2 の評価を得るために、(a+x) /(a-x)　= 2 としてみようと考えるが、
求める評価は得られない。そうすると、次は(a+x) /(a-x)　=４　としたり更に、2＾mとすることで、
log2 の評価を得ようとするが、更に評価は粗くなるばかりである・・・。そうすると逆に２＾（1/2）つまり、
√2にすることに気づくのではないだろうか？　よい発想の原点は、まず思いついたことを実験し、失敗したところから生まれる。
なぜ失敗したのだろうか？と考えることから生まれてくるものなのである。よいものはすべて遠回りしてその真理に近づく。

「さまざまな道を通り、方法を経て、私は私の真理に行きついた。ただひとすじの梯子をのぼって、私はこの高みに到達したのではない。・・・」
　　　　（ツァラトゥストラ　第３部　重力の魔）

615 名前：匿名さん：2007/02/25 14:36

どっかの教授？

616 名前：大学入試「数学」の虚像と実像：2007/02/25 14:48

ここに予告してる評価の問題が今年もでましたね。
http://wind.ap.teacup.com/skreduhs/23.html

617 名前：匿名さん：2007/02/26 07:08

阪大の数学とかも扱って下さい

618 名前：匿名さん：2007/02/26 08:22

神スレ復活！！！！！

619 名前：匿名さん：2007/02/26 08:23

>>617今年の阪大の問題はなかなか良問な希ガス

620 名前：匿名さん：2007/02/28 15:20

難化しまくり

621 名前：匿名さん：2007/03/03 15:53

今年の阪大の問題が一番な希ガス

622 名前：匿名さん：2007/03/06 15:20

おれもそー思う

623 名前：元塾講師：2007/03/08 10:35

>>617
リクエストに答えて阪大の問題で1問だけ解説してみます。
思い起こせば、このスレッドの前半のテーマは数式の扱いでした。いかに数式を美しく、シンプルに
扱うべきかを論じました。この問題を機に高校数学での式の分析手法の基本をいろいろ振り返ってみ
てください。こちらの思いに応えて、どうぞ真剣に取り組んでくださいね。

624 名前：元塾講師：2007/03/08 10:36

練習問題２
次の問いに答えよ。
（１） xが正の数のとき│log x│≦│x-1│/√x を示せ。
（２） p, q, r がp + q + r =1を満たす正の数のときp＾2+ q＾2+ r＾2 ≧1/3を示せ。
（３） a , b, c が相異なる正の数で、√a + √b　+ √c　= 1を満たすとき、
｛ab/(b - a)｝・ log(b/a) + ｛bc/(c - b)｝・ log(c/b) + ｛ca/(a - c)｝・ log(a/c) ≦　1/3
を示せ。　　　　　　　　　　　　　（２００７　阪大）

625 名前：元塾講師：2007/03/08 10:38

解答：
(1)f (x) = {(x-1)/√x } - log x (x＞0)　とおくと、
f’ (x) = (1/2)・x＾(-1/2) + (1/2)・x＾(-3/2) - x＾(-1)= (1/2)・x＾(-3/2)・(√x - 1) ＾2 ≧0
よってはx＞0においてxの単調増加関数で、f（1）=0 に注意すれば
0＜x＜1においてはf (x)＜0　⇔　(x-1)/√x ＜ log x（＜0）　∴│(x-1)/√x│＞│log x│
x≧1においてはf (x)≧0　⇔　(x-1)/√x ≧ log x（≧0）　∴│(x-1)/√x│≧│log x│
よって示された。

626 名前：元塾講師：2007/03/08 10:39

解答：
(2) y = x＾2　（x＞0）のグラフは下に凸であるから、この上の三点(p, p＾2)、(q, q＾2)、(r, r＾2)で
作られる三角形はy≧x＾2の領域にある。
三角形の重心( (p+q+r)/3 , (p＾2+ q＾2+ r＾2)/3 )もy≧x＾2の領域にあり、
(p＾2+ q＾2+ r＾2)/3 ≧｛(p+q+r)/3｝＾2　= 1/9 　∴　(p＾2+ q＾2+ r＾2) ≧1/3　（等号はp=q=r）

627 名前：元塾講師：2007/03/08 10:40

解答：
(3) a＜b＜c としても一般性を失わない。
このとき、（1）よりlog(b/a)≦{(b/a)- 1}/√(b/a) であるから、辺辺にab/(b - a) を掛けて
｛ab/(b - a)｝・ log(b/a)　≦√ab
同様に｛bc/(c - b)｝・ log(c/b)　≦√bc　および
｛ca/(a - c)｝・ log(a/c)　= ｛ca/(c - a)｝・ log(c/a)≦√ca
よって｛ab/(b - a)｝・ log(b/a) + ｛bc/(c - b)｝・ log(c/b) + ｛ca/(a - c)｝・ log(a/c)
≦√ab + √bc + √ca 　　　　・・・?
一方、√a + √b　+ √c　= 1 のとき、両辺を2乗して
　a + b + c + 2(√ab + √bc + √ca) = 1 であるが、（２）より、a + b + c　≧1/3 であるから、
　1 = a + b + c + 2(√ab + √bc + √ca) ≧　1/3 + 2(√ab + √bc + √ca)
∴√ab + √bc + √ca　≦　1/3 ・・・?
?、?より、
｛ab/(b - a)｝・ log(b/a) + ｛bc/(c - b)｝・ log(c/b) + ｛ca/(a - c)｝・ log(a/c) ≦　1/3
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（証明おわり）

628 名前：元塾講師：2007/03/08 10:42

解説：
（１）右辺- 左辺を関数として、増減をしらべていく方針（最小値でさえ0以上であることを示す方針）は
問題ないでしょう。
あとはどうやって絶対値を処理するかであるが、2乗することで絶対値をはずして論ずるよりは、
0＜x＜1、x≧1に分けて絶対値をはずして論じるほうが式はシンプルでしょう。

629 名前：元塾講師：2007/03/08 10:43

解説：
（２）本解は関数の凸性を利用して、図形的に説明しています。
よくやる基本的な考え方ですので、問２、問４も参考にしてマスターしておいてください。

630 名前：元塾講師：2007/03/08 10:45

（別解１）
〔Caucy ‐Schwartz の不等式　（ベクトルx）・（ベクトルｙ）≦│ベクトルx│・│ベクトルｙ│
を用いるのなら、〕
1 = p + q + r = ( p , q , r ) ・ ( 1 , 1, 1 )　　（・は内積を表す）
　　　 ≦│( p , q , r )││( 1 , 1 , 1 )│
より辺々2乗して、　1 ≦3・(p＾2+ q＾2+ r＾2)　　が得られる。


受験数学3大不等式については問題24-27および問題1,36の解説に述べている。
ポイントは積の和を内積と見ることであるが、この重要性に関して問２７の解説を読んでください。
また、ついでに和→積という形で、積の形で数式を扱うことの重要性（例えば三角関数での積⇔和の
公式の重要性）については問５の解答、解説を読んでください

631 名前：元塾講師：2007/03/08 10:46

積と和を行き来できるということは、因数分解、高次方程式を解くことから始まる、初等数学においては
分野を問わず、数式を扱う上でのポリシー、一貫した哲学のようです。

632 名前：元塾講師：2007/03/08 10:48

式の意味を図形的に論じるのであれば、
解説：（２）（別解２）　　　　　　　　　　　　　　　
xyz空間において平面L;　x + y + z = 1 上を動く点X(p , q , r )のうちで原点Oまでの
距離OX　= √(p＾2+ q＾2+ r＾2)　が最小になるのは、XがOから平面Lに降ろした垂線の足に
一致するときであり、
OX≧1/√3　(∵点Oと平面Lの距離の公式より) 　　∴　p＾2+ q＾2+ r＾2≧1/3

633 名前：元塾講師：2007/03/08 10:48

もちろんその他、一文字消去で、動くものを減らして考えるという方針でもできるでしょう。
ちなみ一般的に、独立多変数関数の扱いに関しては問２４から２９、問３１を参考にしてみてください。

634 名前：元塾講師：2007/03/08 10:49

解説：(3)
当然（１）（２）を使うことを考える。?まできて、あとはこれをどうやって評価するかであるが、
√a + √b　+ √c　= 1　・・・（※）を利用して√ab + √bc + √ca　の評価を考えるのであれば、(※)を2乗してみる
というのはごく自然な頭の使い方でしょう。

635 名前：匿名さん：2007/03/09 09:17

図がないから読み肉い

636 名前：匿名さん：2007/03/23 12:44

たしかに・・・

637 名前：匿名さん：2007/03/28 19:43

末永く続いて欲しいスレだ