NO.10389757

0 名前：通りすがりの元鉄緑会大阪校の講師：2005/08/14 15:18

今日はじめて、何かのはずみで、このサイトに来てみて
皆さんが勉強に悩み、打ちこんでいる姿に共感しました。
そこで皆さんの手助けになれるよう今日から数学講義をしようと
思います。（やる気の続く限り）
週１～２問のペースで５０問くらい続ければいいけどなと
思いますので、宜しくね。
なお、題材はすべて過去問です。やはり、教授達が一年に
一回の為に、苦労して作った傑作が多いため、非常に力がつきます。
でも解答はすべて私のオリジナルで書きます。
僕のボケ防止と、何よりも皆様の数学力向上のため、楽しく解きましょう！

では、
問１：すべての正の実数ｘ、ｙに対し√ｘ＋√ｙ≦k√２ｘ＋ｙ
が成り立つような実数ｋの最小値を求めよ。　（１９９５東大）

解答その１：
「すべての正の実数ｘ、ｙに対し、√ｘ＋√ｙ≦k√２ｘ＋ｙ」
⇔「すべての正の実数ｘ、ｙに対し√ｘ＋√ｙ/√２ｘ＋ｙ≦k」?
ここに√２ｘ＝rcosθ √ｙ＝rsinθ　{x＞0 y>0のときr>0 0<θ<π/2}
とおけば右辺＝√1/2・cosθ+sinθ＝√3/2・sin(θ+α)≦√3/2
ここでαはtanα=1/√2なる角。
θ+α=/2のときこの等号は成立するので、√ｘ＋√ｙ/√２ｘ＋ｙのx＞0 y>0
における最大値は√3/2であり?⇔√3/2≦k （答）√3/2

本解答では「置き換えによりいかに式を簡単にしていくか」に注目して欲しい。

388 名前：元塾講師：2006/01/23 10:45

なお、決まっている量を余弦定理で1つづつ求めていくのなら、まず△OPRで余弦定理を適用
してPRを求め。それをもとにcos ∠ORPを求め、更にこの数値を利用して△ORQに余弦定理
を適応して、OQを求めるというのもあろう。余弦定理を3回使い、ややこしいので解答にし
なかったが、三角形の量を求めるのに三角比の要、余弦定理、正弦定理を駆使できることも
重要と思える。ついでに、復習をしておいて下さい。

389 名前：元塾講師：2006/01/23 10:45

解答5：
△ PQRは△OPQ　+　△ORQ　と△OPRの差の絶対値なので、
△PQR =│△OPQ　+　△ORQ　 -△OPR│
=│(1/2)(1 + 2t)(√3・t )sｉn 30°+(1/2)(1 + t)(√3・t )sｉn 30°-(1/2)(1 + 2t)(1 +t )sｉn 60°│
= √3/4 │t(1 + 2t)　+　t(1 + t)　 -(1 + 2t)(1 +t )│
=　√3/4 │t＾2 - t - 1│　
よって
「P , Q , Rが一直線上にある」 ⇔ 「△PQR = 0」 ⇔ t＾2 - t - 1 = 0
　∴t = (1 + √5)/ 2　　〔∵t ＞0〕　…　(?)の（答）
「△PQR =△AOB」 ⇔ 「 √3/4 │t＾2 - t - 1│ = √3/4 」 ⇔ t＾2 - t - 1　= 1 or -1
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴ t = 1 or 2 〔∵t ＞0〕　…　（?)の（答）

390 名前：元塾講師：2006/01/23 10:47

解答5の解説：
一直線になる条件を面積で捉えることについて、これは（?）の問題に解答することを考えれば
本問では、自然であろう。面積に着目している点で、解答4と同じ解答である。また、上の解答3
とも本質的には共通しています。その意味は、平行条件とは三角形の面積と関連するので。
（そもそも平行条件とは2ベクトル(a , b ) と（c , d）で作られる三角形の面積
（= 1/2│ad - bc│）が0ということから来ているとも考えられるので。）
更にいえば、列ベクトル(a , b ) と（c , d）で作られる2行2列の行列の行列式が0
（⇔逆行列を持たない）というような捉え方も役立つかもしれない。
ちなみに、面積は1/2│det A│である。
平行条件、三角形の面積、行列式（逆行列を持たない条件即ち、全平面を一定方向の向きに
そろえてしまう変換を表す一次変換の条件）のすべてにad - bc という量が問題になります。
逆行列を持たない行列が表す一次変換は、例えば2ベクトル（1,0）（0,1）を同方向にそろえ、
ｘｙ平面で持っていた面積を変換後には0にしてしまう。従って(a,b)(c,d)で作られる
平行四辺形の面積　= │ad - bc│ = 0 というイメージがあれば統一的に考えられるでしょう。
漠然とつながりを感じてもらえれば、公式の覚え間違いを防ぐのに役立ちます。

391 名前：元塾講師：2006/01/27 23:54

問45:
座標空間において、平面z = 1上に一辺の長さが1の正三角形ABCがある。点A , B , C
から平面z = 0に下ろした垂線の足それぞれD , E , Fとする。動点PはAからBの方向へ
出発し、一定の速さで△ABCの周を一周する。動点Qは同時にEからFの方向へ出発し、
Pと同じ速さで△DEFの周を一周する。線分PQが通過してできる曲面と△ABC　, △DEF
によって囲まれる立体をVとする。
（1）平面z = a ( 0≦a≦1) によるVの切り口はどのような図形か。
（2）Vの体積を求めよ。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（1986　京大）

392 名前：元塾講師：2006/01/27 23:55

Introductｉon：　ベクトル方程式について学習できる問題。

393 名前：元塾講師：2006/01/28 00:01

解答：(1)Vの平面z = a ( 0≦a≦1) によるVの切り口についてはもともとの線分PQ上で
平面z = a上にある点（これをRとおく）が動く図形を考えればよい。というのも、
平面z = a上で考える限りにおいて、Vという曲面の創出に関与するのは線分PQの点のうち
z = a上にあるものだけであり、線分PQ上の点でz = a上にない点については、平面z = a
上で考える限りにおいて、考慮する必要がないからである。
まずPが辺AB上を動くとき、Qは辺EFを同じ速さで動くので、ベクAP = t ・ベクAB と書け
るとき、 ベクEQ = t ・ベク EF である。(t は0≦t≦1の範囲の実数)
PQと平面z = aの交点Rは高さに注目すれば、PQ を(1 - a)：a に内分する点であるから、
ベクOR = a ・ベクOP + (1 - a) ・ベクOQ
　　　= a ・ベクOA + (1 - a) ・ベクOE + t ｛a ・ベクAB + (1 - a) ・ベク EF｝
これはｔの一次関数であるから、ここでtが0から1まで動くときの点Rの軌跡は線分である。
即ちt = 0 のとき、ベクOR = a ・ベクOA + (1 - a) ・ベクOEで、これより定まる点R、
即ちAEを(1 - a)：aに内分する点をR0とし、t = 1 のとき、ベクOR = a・ベク OB + (1 - a) OF
で、これより定まる点R、即ちBFを(1 - a)：aに内分する点をR1とすれば、Rは線分R0R1　
を描くことが分かる。
全く同様に、Pが辺BC上を動くときRは線分R1R2（R2はCDを内分する点）を描き、
Pが辺CA上を動くときRは線分R2R0を描く。
よってPが△ABCの周を一周するとき、Rの描く軌跡は三角形R0R1R2であり、これは
3辺の長さが等しいので、正三角形である。 …（答）

394 名前：元塾講師：2006/01/28 00:03

（2）（1）よりベクR1R2 = a ・ベクAB + (1 - a) ・ベクEFであるので、
│ベクR1R2│＾2 = a＾2・│ベクAB│＾2 + (1 - a)＾2・│ベクEF│＾2 + 2・a・(1 - a)・(ベクAB・ベクEF)
= a＾2 + (1 - a)＾2 + 2・a・(1 - a)･cos 120°= 3 a＾2 - 3 a + 1　。
よって、この正三角形R0R1R2の一辺の長さは√(3 a＾2 - 3 a + 1)。
この面積は1/2 (3 a＾2 - 3 a + 1)･sin 60°= (√3/4)・(3 a＾2 - 3 a + 1)であり、これがVの断面積
であるから、ここでパラメータa を動かすことにより、Vの体積は
V = ∫｛a = 0～1｝(√3/4)・(3 a＾2 - 3 a + 1) da = √3/8　…（答）

395 名前：元塾講師：2006/01/28 00:08

解説：
PがAにあり、QがEにあるとき、点Rは上の説明のR1に位置することになる。
また、PがBにあり、QがFにあるとき、点Rは上の説明のR2に位置することになる。
問題はPがAを出発し、Bに至るまでに点Rはどのような経路で（どのような図形を描きながら
R1からR2までに到達するのかである。）結論を言えば、Rは直線的に動いていくのであるが
これの説明として、ベクトル方程式を用いて説明した。
Rはｔ という1つのパラメータを用いて、一次式の形で表現できるので、直線上を動くので
ある。（ベクx = ベクp + t ・ベクq　というベクトル方程式は、定ベクトルpの位置を通り、
方向ベクトルが定ベクトルqの直線を表す。）即ち、（※）によれば、ｔが0から1まで動く時、
Rは定ベクトルa ・ベクOA + (1 - a) ・ベクOEの位置を出発して、
ベクトル｛a ・ベクAB + (1 - a) ・ベク EF｝の方向に動いていくのである。

396 名前：元塾講師：2006/01/28 00:10

解説2:（※）のベクトル方程式の解釈はパタメータtについて整理することを注意しましょう。
今aは（固定された）定数なのでt と関係ない部分は定ベクトルとして前にくくり出している
ことに注意して下さい。パラメータｔの次数ごとに分けて整理しているのである。（今回はt
の一次式なのでtでくくり出しているだけであるが。）
文字が少し増えると何が定数で、何が変数かを混乱してごちゃ混ぜに扱い訳の分かってない式
変形をする人がいます。定数と変数をしっかり区別した式変形が、数式を扱う上での初歩であ
ることは既に何度も述べました。

397 名前：元塾講師：2006/01/28 00:14

解説3：ところで、Pが直線AB上を、Qが直線EF上をてんでばらばらに（互いに独立して）動く
のであれば、PQの内分点Rの軌跡は平面である。
ベクOP = ベクOA + t ・ベクAB　 , ベクOQ = ベクOE + s・ベクEF と書くとき、
PQをk : (1 - k) 〔k は0＜k＜1の範囲の定数〕に内分する点Rは、
ベクOR = (1 - k) ・ベク OP + k ・ベクOQ
　　 = ｛(1 - k) ・ベクOA + k ・ベクOE ｝+ t ｛(1- k ) ・ベクAB｝+ s ｛k ・ベクEF｝
ここでパラメータs , t が独立的に実数で変化するとき、Rは
｛(1 - k) ・ベクOA + k ・ベクOE ｝が表す定点を通り、
一次独立な2ベクトルであるベクAB , ベクEFで形成される（これらと平行な）
平面上を動くことになる。

398 名前：元塾講師：2006/01/28 00:15

まとめ：
2動点がそれぞれある図形を動く時、その動点の動きをベクトル方程式で表示しておけば、
2動点と一定の関係で動く点は（2動点の内分点などは）、必然的にベクトル表示される。あと
はそのパラメータごとの動きは、ベクトル方程式が解釈できるかどうかだけの問題となる。
パラメータのまとまりで変形をし、次数を考えて解釈すれば良い。
解答はこのような見通しのもと、Rの軌跡の説明としてベクトル方程式を使った説明をした。

399 名前：元塾講師：2006/01/28 00:16

なお、解答のはじめの5行は求積（立体の体積を求める）において断面図を考える場合、『動くものを切る時は切ってから動かせ』という基礎的な考え方を説明したものである。

400 名前：元塾講師：2006/01/28 00:20

補足（別解？）：
Dを原点とし、ベクトルDAの方向をz軸正方向とし、ベクトルDEの方向をx軸正方向とする
図のようなxyz直交座標系を設定すると（図は略）、各点の座標は
A (0 , 0 , 1) , B (1 , 0 , 1) , C (1/2 , √3/2 , 1) , D (0 , 0 , 0) , E (1 , 0 , 0) , F (1/2 , √3/2 , 0)
である。Pが辺AB上を動くとき、ベクAP = t ・ベクAB　（ｔ は0≦ｔ≦1を満たす実数）と書くと、
Qについて同じt を用いてベクEQ = t・ベク EF　と書ける。
このときベクOP = ベクOA + t ・ベクAB　= (t , 0 , 1)
　　　　ベクOQ = ベクOE + t ・ベクEF　= ( 1 - (t /2) , √3・t/2 , 0) である。
線分PQと平面z = a との交点Rは、線分PQを(1 - a): a に内分する点であるから、
ベクOR = a ・ベクOP + (1 - a) ・ベクOQ = a (t , 0 , 1) + (1 - a) ( 1 - (t /2) , √3・t/2 , 0)
　　　　　　= (1 - a , 0 , a) + t ( (3a - 1)/2 , √3・(1 - a)/2 , 0 )　（☆）
ここでtが0から1まで動くとき、点Rは長さ
│( (3a - 1)/2 , √3・(1 - a)/2 , 0 )│= √(3 a＾2 - 3 a + 1) の線分を動く。
Pが辺BC上を動くとき、Pが辺CA上を動くときについても同様に点Rは長さ
√(3 a＾2 - 3 a + 1) の線分を動くので、（これらの3本の線分は△ABCと△DEFのそれぞれの
重心を結ぶ直線を軸に、120°ずつ回転させた関係にある。）
求めるRの描く図形はz = a 上で、一辺の長さが√(3 a＾2 - 3 a + 1) の正三角形である。

401 名前：元塾講師：2006/01/28 00:21

補足の解説：
具体的に座標軸を設定して、Rを表示しても良いでしょう。但し、結局Rの動きを解釈する場合、
パラメータtについて整理することになる（（☆）の部分）ので、本解と同じような変形や
説明になるので別解というほどのものではない。いずれにせよ、くれぐれもaは定数ということ
を見失わないようにし、パラメータについて整理するという姿勢で式変形をして下さい。

402 名前：匿名さん：2006/01/28 15:17

お疲れです

403 名前：匿名さん：2006/02/01 16:11

才オォ(*･ω･*)ォオ才
ミルクにこんなすごいところがあったとは。
ここが一番優れたスレなのでは･･･？
今プリントアウトしてノートに理解しながら書いていってます(*´д`*)
元塾講師さん本当にお疲れ様です＜(*_ _)＞

404 名前：まぃ：2006/02/03 12:00

教えてください！！このもんだい(´□｀人)

7%の食塩水は密度が1.05g/ml。この食塩水120mlは何gか

405 名前：元塾講師：2006/02/03 12:11

>>404
「この食塩水」というのが同じ「7%の食塩水」のことを指すのであれば、
この食塩水は1 ml 当たり1.05 g なので、120 mlではこの120倍の126 g
ではないでしょうか。（比例関係といいます）

406 名前：元塾講師：2006/02/03 12:12

問46：
同一平面上に2つの三角形△ABC、三角形△A'B'C'があり、それぞれの外接円の半径は
共に1であるとする。この2つの外接円の中心を結ぶ線分の中点をM , 線分AA' , BB'
, CC'の中点をそれぞれP , Q , Rとする。
（1）MP≦1 , MQ≦1 , MR≦1 となることを示せ。
（2）もし△PQRが鋭角三角形でその外接円の半径が1となるならば、点Mはこの外接円の
中心と一致することを示せ。さらにこのとき△ABC ,　△A'B'C' , △PQRはすべて合同
となることを示せ。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（1986　京大）

407 名前：元塾講師：2006/02/03 12:13

Introductｉon：　
条件や量の表現において、ベクトルを導入して表現していくのが綺麗である。
幾何的考察もポイントになるので平面図形の融合問題といえ、京大らしい論証問題である。
いろいろな観点からの別解が作れそうな問題であるという印象。

408 名前：元塾講師：2006/02/03 12:16

解答：
（1）△ABC　, △A'B'C' の外接円の中心をX, X 'とおく。各点の位置ベクトルを小文字で表すと、
ベクMP = p - m = (1/2)・(a + a ') - (1/2)・(x + x ') = (1/2)・(ベクXA + ベクX'A')
∴│ベクMP│= (1/2)・│ベクXA + ベクX'A'│≦(1/2)・｛│ベクXA│ + │ベクX'A'│｝= 1
〔∵三角不等式より。等号はベクXAとベクX'A'が同方向のとき、本問の場合は長さも等しいことから
ベクXA = ベクX'A'　のとき。〕　同様に
│ベクMQ│= (1/2)・│ベクXB + ベクX'B'│≦(1/2)・｛│ベクXB│ + │ベクX'B'│｝= 1 ,
│ベクMR│= (1/2)・│ベクXC + ベクX'C'│≦(1/2)・｛│ベクXC│ + │ベクX'C'│｝= 1
示された。

409 名前：元塾講師：2006/02/03 12:18

(2)△PQRの外接円の中心をOとおくと題意より、OP = OQ = OR = 1…? 。Mについては
（1）より MP≦1 , MQ≦1 , MR≦1　…?
ここで、ベクMP = ベクOP - ベクOM より、辺々を2乗して?を用いて、
│ベクMP│＾2= 1 + │ベクOM│＾2 - 2 ベクOP ・ ベクOMよって?より
│ベクOM│＾2 ≦ 2 ベクOP ・ ベクOM …? 全く同様に
│ベクOM│＾2 ≦ 2 ベクOQ ・ ベクOM …?
│ベクOM│＾2 ≦ 2 ベクOR ・ ベクOM …?　である。
ここで三角形PQRは鋭角三角形であるから、Oは三角形の内部にあり実数α,βを用いて、
ベクPO = α・ベクPQ + β・ベクPR　 （α＞0 ,β＞0 , α+β＜１） と書ける。
これをOを始点に書き換えて
- ベクOP =α・(ベクOQ - ベクOP) + β・(ベクOR - ベクOP)
∴(1 -α-β) ・ベクOP + α・ベクOQ + β・ベクOR = 零ベクトル
γ= 1 -α-βとおけば、γ・ベクOP + α・ベクOQ + β・ベクOR = 零ベクトル ,α＞0 ,β＞0 ,γ＞0
よって?×γ+ ?×α + ?×β　として、右辺にこれを用いると
（α+β+γ）│ベクOM│＾2≦0　　∴│ベクOM│=　0 　∴M = O (前半証明終わり)

410 名前：元塾講師：2006/02/03 12:19

このとき、MP = MQ = MR = 1であるから（１）の等号が成立するので、
ベクXA = ベクX'A'　であり、このときベクMP = (1/2)・(ベクXA + ベクX'A') = ベクXA
よってベクXA = ベクX'A' = ベクMP …?　　これと同様に
ベクXB = ベクX'B' = ベクMQ　…?　, ベクXC = ベクX'C' = ベクMR　…?
? - ?　, ? - ?　を各辺において行うと、
ベクAB = ベクA'B' = ベクPQ 　, ベクAC = ベクA'C' = ベクPR
∴ △ABC ≡ △A'B'C' ≡ △PQR (2辺挟角相当)　　　　（後半証明終わり）

411 名前：元塾講師：2006/02/03 12:20

別解：
（1）は同じ。
（2）△PQRの外接円の中心をOとおくと題意より、OP = OQ = OR = 1…? 。Mについては（1）より MP≦1 , MQ≦1 , MR≦1　…?
ここで、ベクMP = ベクOP - ベクOM より、辺々を2乗して?を用いて、
│ベクMP│＾2= 1 + │ベクOM│＾2 - 2 ベクOP ・ ベクOMよって?より
│ベクOM│＾2 ≦ 2 ベクOP ・ ベクOM …? 全く同様に
│ベクOM│＾2 ≦ 2 ベクOQ ・ ベクOM …?
│ベクOM│＾2 ≦ 2 ベクOR ・ ベクOM …?　である。
ここでM≠Oとするならば、ベクOMは零ベクトルではなく
ベクOP ・ ベクOM ＞0 , ベクOQ ・ ベクOM ＞0 , ベクOR ・ ベクOM ＞0
ここでOを通り、線分OMに垂直な直線をLとおくと、これは3点P , Q , R が
Lに関しMと同じ側にあることを意味するので、Oは△PQRの外部になる。
このとき円弧PQ , QR , RP のいずれかの中心角が180°を越えるから、その円周角である
∠P , ∠Q , ∠R　のいづれかは90°を越え、△PQRが鋭角三角形であることに反し矛盾。
よってM≠Oとして矛盾が導かれたので、M = O 　　（前半証明終わり）

412 名前：元塾講師：2006/02/03 12:22

このとき、MP = MQ = MR = 1であるから（１）の等号が成立するので、
ベクXA = ベクX'A'　であり、このときベクMP = (1/2)・(ベクXA + ベクX'A') = ベクXA
よってベクXA = ベクX'A' = ベクMP …?　　これと同様に
ベクXB = ベクX'B' = ベクMQ　…?　, ベクXC = ベクX'C' = ベクMR　…?
これらはXをX'そしてMにまで平行にずらすことで、3点 A , B , C が 3点 A' , B' , C'そして
3点 P , Q , Rに一致することを示すので、△A'B'C' , △PQRは△ABCをベクトルXX' ,
ベクトルXM　だけそれぞれ平行移動したものであるから、△ABC ≡ △A'B'C' ≡ △PQR
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（後半証明終わり）

413 名前：元塾講師：2006/02/03 12:23

解説：
（1）位置ベクトルとは平面上でも空間上でもいいが、ある一点を決めてそこを絶対的な(固定的な)
基準点として、各点を終点とするベクトルということ。この位置ベクトルと各点の位置は1対1に
対応する。対称性を保つ為という目的で、あえて問題にない基準点を始点にして表示する
位置ベクトルを用いて、ベクトル計算する仕方に注目しておいて下さい。
本問で問題は（２）の前半部でどのような論証をするかです。解説代わりに私の頭の中を書いて
みました。実際の解答を作っていくに当たってはこれらの一連の吟味を踏まえた上で決めています。
参考になればよいですが。

414 名前：元塾講師：2006/02/03 12:26

解説：（２）の前半部分
「直接Mが外心Oに一致することを証明するよりO≠Mとして矛盾を導くという方向で考える
ほうが、式の扱いの指針が立てやすいんとちゃうか。条件のいくつかを使って
他の条件との間に矛盾が出てこないか考えてみよか。MがO以外の点としたんやったら（O≠Mの
時）、OP=OQ=OR=1のもとで考えた場合、MP≦1 , MQ≦1 , MR≦1というのが矛盾することは
図を書けばなんとなく分かるような気もするな。つまりMをO以外のどこにとってもMPかMQかMR
のどれかは1より大きくなりそうやで、なるほどこのすべてを1以下には出来ないようやな。
MをP,Qに近づけると当然MP≦1 , MQ≦1は満たされるが、Rからは離れてしまい、MR＞1になり
そうやんか。
そのぎりぎり境目、P,Q,Rの各点から半径1の円を描いてみよか。OP=OQ=OR=1やからOで共有点
を持つんやな、その3円ともの内部又は周に居ようと思うのなら（MP≦1 , MQ≦1 , MR≦1を
満たすためにはということ）、MはOの位置以外ありえなくなるな。これで矛盾がでたと。
あっ、背理法の形で論証知る必要ないやないか。結局PQR各点を中心として半径１の円を描い
てその交点がOになるっていう図を添えておけば、MP≦1 , MQ≦1 , MR≦1⇔Mは3円の内部又
は周上にある⇔M=O　ということでいいやん。これで背理法でなく直接的に論証できてるな。
そうそう△PQRが鋭角三角形だから外心Oは三角形の内部になることを述べておかんと、書い
た図が特殊な場合のみについてしか議論していないやンけと突っ込みが入るやろうから、
1つの代表的な絵でこの問題に対しては一般性を失わない議論ができていることはいっとかん
とな。これで完璧。

415 名前：まぃ：2006/02/03 12:27

では7%だからかける0.07とかはやらなくていいのですか？？教えてください。すいませんこんなこともわからなくて、、、

416 名前：元塾講師：2006/02/03 12:28

さて、別解考えよか…。図は説明がめんどうやし式だけでやりたいしね。たったこれだけの
（抽象的な）条件式を整理していくにはベクトルが便利やな。
OP=OQ=OR=1を使うことにして、すべてOを始点に整理してみるか…?、?、?（解答中の）
が出たけど∠POMまで持ち出してもう少し考えてみよかな。式変形すると、cos∠POMはある
正の数以上になるということやから、∠POMは90°以下。他の∠QOM　、∠ROM　も同じ。
これはさっきの図よりおかしそうやな。
MをO以外の位置に決めてしまうと∠POMが90°以下というのはPの位置はOを通りOMに垂直な
直線を境にM側の方の領域内にあるということか、これがQ、Rについても同じなんだったら、
そらおかしいわな。Oが△PQRの外に出よるもんな。でもまた、図書かなあかんな…。
(別解として上で解答を作成してますので参考にして下さい。)

417 名前：元塾講師：2006/02/03 12:30

ところでOが△PQR内にある条件ってベクトルで言えば何やったかいな。（OP、OQ,ORの条件
でも調べて?～?に更に突き合わして考えてみよかな）
この状態の一番基本的な表現は
ベクPO = α・ベクPQ + β・ベクPR　（α＞0かつβ＞0かつα+β＜１)
これをOを始点に直したら出てくるな。
ところでこのα , βって、三角形PQRの値（辺の長さや内角）を使ったらどうあらわせるんやろ。
外心Oの満たすべき条件はOから辺AC、辺ABに下ろした垂線の足が辺の中点になることやから、
ベクCO・ベクCA= （b＾2）/2　、　ベクCO・ベクCB =（a＾2）/2　と同値やな、
ここからベクCOを2ベクトルCA,　 ベクCBで表せるよな。
（ベクCO　= x・ベクCA　+ y・ベクCBとおいて上式を計算整理しx,yを求めれば良い。）

418 名前：元塾講師：2006/02/03 12:34

でも、今回OA,OB,OCの関係を求めるんやから、ベクOC　= x・ベクOA　+ y・ベクOB　　…?
としてx y を求める方が直接的やがな。│ベクOC│ = │ベクOA│=│ベクOB│= r (外接円
の半径)は使えるとして、あとなんか条件あるかな。そうか、角A、B、Cとかは決まっている
ものとして考えるんだから、さっきみたいに内積の条件
ベクOC・ベクOA = r・r・(cos 2B)　　[弧ACに対する中心角∠AOCは円周角∠Bの2倍なので]　
と、ベクOC・ベクOB　= r・r・(cos 2A)からx, y を決めよか。?をこの2式に代入したら　
　x + y(cos 2C) = cos 2B　…? , x (cos 2C)+ y = cos 2A　…?　になるから
? - ?×(cos 2C)　でyを消去して、(sｉn 2C)＾2 ・x = cos 2B - cos 2A cos 2C
ここでcos 2B　= cos ｛360°-（2A + 2C）｝= cos (2A + 2C) = cos 2Acos 2C - sｉn 2A sｉn 2C
を代入したらx = - (sｉn 2A) / (sｉn 2C)　ということは　y = - (sｉn 2B) / (sｉn 2C) か。
? に代入したら　（sｉn 2A）・ベクOA + （sｉn 2B）・ベクOB + （sｉn 2C）・ベクOC = 零ベクトル　
この結果は綺麗やな、これは三角形ABCと外心Oについていつも成り立つのか。
三角形ABCが鋭角三角形やったら、x ＜0 , y ＜ 0やから確かにCはベクトルOA,
ベクトルOBと逆方向に延長してできる領域（Oを起点とし- ベクOA　, - ベクOB で作られる
領域）にあるということやから、△ABCはOを含んでいるし、この結果は正しそーやな。
ほな、解答書こか…。」
（本解はこの考え方のもと、必要な部分をシンプルにして答案にしています。）

419 名前：元塾講師：2006/02/03 12:35

補足：
（sｉn 2A）・ベクOA + （sｉn 2B）・ベクOB + （sｉn 2C）・ベクOC = 零ベクトル
が成り立つことを先に述べたが、これを証明するだけなら次のようにするのが普通である。
左辺をベクｖとおくと、
ベクｖ・ベクOA
=　（sｉn 2A）│ベクOA│＾2 + （sｉn 2B）・(ベクOB・ベクOA) + （sｉn 2C）・（ベクOC・ベクOA)　= （sｉn 2A）・r＾2 + （sｉn 2B）・r＾2 (cos 2C) + （sｉn 2C）・r＾2 (cos 2B)
= （sｉn 2A）・r＾2 + sｉn (2B + 2C) ・r＾2
= （sｉn 2A）・r＾2 - (sｉn 2A) ・r＾2 〔∵2B + 2C = 2π - 2A〕
= 0
全く同様に、
ベクｖ・ベクOB
= （sｉn 2B）│ベクOB│＾2 + （sｉn 2A）・(ベクOA・ベクOB) + （sｉn 2C）・（ベクOC・ベクOB)
= （sｉn 2B）・r＾2 + （sｉn 2A）・r＾2 (cos 2C) + （sｉn 2C）・r＾2 (cos 2A)
= （sｉn 2B）・r＾2 + sｉn (2A + 2C) ・r＾2
= 0
ここで、一次独立な2ベクトル、ベクOA、OBに垂直な（内積が0になる）ベクトルは零ベクトルしかないので、ベクｖ　= 零ベクトル。

このように証明するのが通常である。
│ベクｖ│を2乗することで計算して、0になることを示しても構わない。

420 名前：元塾講師：2006/02/03 12:37

要は、あるベクトル（平面ベクトル）が零ベクトルで証明するには
「一次独立な２ベクトルとそのベクトルの内積が0である」ことを示すか、「そのベクトルの大きさ
を計算して0であることを示す」のいずれかが便利であることは知っておくと良いだろう。

421 名前：元塾講師：2006/02/03 12:42

解説2：
平面ベクトルはこの問題で終わりにします。この分野で伝えておきたいのは、ベクトルの大きな
特徴は始点を自由に変えられるという点である。ベクトルの式変形に慣れた人であれば、自由自在
にいろんな始点（=視点）から図形状態を解析していけるのでありこれは大きな特徴ではないだろ
うか。また、抽象的な問題では特に、その式表現のシンプルさは魅力的である。ベクトルを勉強
することにより、単純なxy直交絶対座標形から解き放たれた自由な視点を得たことを実感して欲
しい。

では続けて空間図形の重要問題（教訓がある問題、応用性のある問題、
その分野の本質の理解に役立つ問題ということ）を2題提供します。（後日）

422 名前：元塾講師：2006/02/03 12:56

そうそう
>>415さん
そこが「引っ掛け」ということではないでしょうか？
将来、悪い大人達に騙されないよう、しっかり日本語と論理的思考力の勉強をしていって
下さい。
なお、このスレを読めば基礎的な数学と基礎的な科学、哲学の考え方が学べます。
ただ最低限の知識がないと誤解してしまうことが出てくるかも知れませんので
まずは教科書に一通り目を通してから（微積分まで）、私が紹介した問題に取り組んで下さいね。
とりあえず今の課題から、1つづつ頑張れ！　応援しております。

423 名前：まぃ：2006/02/03 14:16

ありがとございます！！私はまたこのスレにきます(>∀<)感謝します！！

424 名前：まい：2006/02/04 11:52

またまた質問なんですが

炭酸水素カルシウムの化学式

をおしえてくださぃ！おねがいします(*- -)(*_ _)

425 名前：匿名さん：2006/02/04 15:59

>>424
スレ考えろ、馬鹿。
しかもそんなのググればすぐわかる、阿呆。

426 名前：まぃ：2006/02/04 23:52

炭酸水素ナトリウムはかけるけどカルシウムは２価だからこまるんです。。。じゃぁどんなですか！

427 名前：匿名さん：2006/02/05 00:17

>>426
Ca(HCO3)2

428 名前：まぃ：2006/02/05 03:56

ﾎﾝﾄにﾎﾝﾄにありがとうございます(人*′∀`)

429 名前：匿名さん：2006/02/05 07:37

だからスレ考えろって、馬鹿。
ググれってのがわからないのか、きちがい。

430 名前：匿名さん：2006/02/09 10:20

まぃさん、ここは難関大の数学を攻略するスレなので書き込みをするのであれば
そこのところ考えて書き込んでください。
リアルでもネットでも空気の読めない人は嫌われますよ。

431 名前：元塾講師：2006/02/09 11:22

…ま。原点に戻って、楽しく数学を解きましょう。
Let's enjoy mathematｉcs　!

そして知を愛しましょう。
何より生と、この世に生きていることを　深く深く愛しましょう。

432 名前：元塾講師：2006/02/09 11:24

質問は歓迎です。（きっと他の人が回答してくれることでしょう。）
私も見に止まるものであれば、時間的余裕に応じて返事を致します。
でも、自分で十分考えた上でするようにして下さい。
尚、とりあえずは高校数学に関する以外の質問は受け付けられませんので悪しからず。

「高く登ろうと思うのなら、自分の足を使うことだ。高いところへは、他人によって運ばれては
ならない。ひとの背中や頭に乗ってはならない。
あなたは馬で登ったというのか？急いで目標につくのは、これにかぎるというのか？
よかろう、わたしの友人よ。だが、あなたのしなびた脚も、一緒に馬に乗っていく。
目標について、馬から飛び降りる時、ほかならぬあなたの山頂で…あなたはころぶだろう！」　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（Friedrich Nietzsche）

433 名前：元塾講師：2006/02/09 11:26

問47：
空間内の点の集合｛( x , y , z )│0≦y , 0≦z ｝に含まれ、原点Oにおいてx軸に接し、xy平面
と45°の傾きをなす、半径1の円板Cがある。座標が( 0 , 0 , 2√2)の位置にある点光源Pにより、
xy平面上に投ぜられた円板Cの影をSとする。
?）Sの輪郭を表すxy平面上の曲線の方程式を求めよ。
?）円板Cと影Sの間にはさまれ、光の届かない部分のつくる立体の体積を求めよ。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（1984　東大）

434 名前：元塾講師：2006/02/09 11:27

Introduction： 順像法か　それとも　逆像法か　。


・逆像法による写像の捉え方 = Q→Rという写像においてQを存在させるようなRの（必要十
分）条件を求める。　（→解答１）

・順像法による写像の捉え方= Q→Rという写像においてQをパラメータ表示して、それにつ
れて決まるRを求めた上で、Rの軌跡を考える。 (→解答2)

435 名前：元塾講師：2006/02/09 11:31

解答１：
（1）求めるSの輪郭上の点をR( X , Y , 0 )　とおくと、これと点Pを結ぶ直線の方程式は
L：　( x , y , z ) = ( 0 , 0 , 2√2) + t ( X , Y , - 2√2 ) 〔t はパラメータ〕　であり、これと
円板Cの境界は共有点をもつ。Lと（円板Cを含む）平面z = y との交点は2√2 - 2t√2 = t Y のとき、
即ちt = 2√2 /( Y + 2√2) 〔t が存在する為にはY ≠ -2√2が必要で、この下で考える。〕に対応する点で、
（2X√2 /( Y + 2√2) , 2Y√2 /( Y + 2√2) , 2Y√2 /( Y + 2√2)） 。これが円板Cの周上に
あるから、円板の中心( 0 , 1 /√2 , 1 /√2 )　との距離が1で、
｛2X√2 /( Y + 2√2)｝2 + 2｛2Y√2 /( Y + 2√2) - 1 /√2｝＾2 = 1
∴X＾2 + (Y - √2)＾2 = 2　　〔この時、必然的にY ≠ -2√2が満たされる〕
よって点R( X , Y , 0 )は、円x＾2 + (y - √2) ＾2 = 2上にあればよく、これが求めるSの輪郭
を表す方程式である。
　　　（答）　円x＾2 + (y - √2) ＾2 = 2

436 名前：元塾講師：2006/02/09 11:32

（2）Pを頂点とし、Sを底面とする円錐の体積は2π×2√2×( 1/3) = 4√2π/3
　　Pを頂点とし、Cを底面とする円錐は底面積π , 高さ│2√2│/√2= 2　〔これは点Pと
　　平面z = y との距離〕であるから体積は2π/3　。
　　求める立体の体積はこの2つの差であり、2π( 2√2 - 1)/ 3　　…（答）

437 名前：元塾講師：2006/02/09 11:36

解答2：
（1）円C（円板Cの周をなす円）は点( 0 , 1 /√2 , 1 /√2 )　を中心とし、ベクトル( 1 , 0 , 0)と
( 0 , 1 /√2 , 1 /√2 )を2つの垂直な半径ベクトルとする円であるから、その円周上の点Qは
ベクOQ = ( 0 , 1 /√2 , 1 /√2 ) + cosθ( 1 , 0 , 0)　+ sｉnθ( 0 , 1 /√2 , 1 /√2 )
　　　　　 = (cosθ, ( 1 + sｉnθ) /√2 , ( 1 + sｉnθ) /√2) と書ける。
このとき直線PQの式（ベクトル方程式）は
L：　( x , y , z ) = ( 0 , 0 , 2√2) + t (cosθ , ( 1 + sｉnθ) /√2 , ( - 3 + sｉnθ) /√2)
〔t はパラメータ〕
であり、これとxy平面との交点は2√2 + t ( - 3 + sｉnθ) /√2 = 0 ⇔ t = 4 / ( - 3 + sｉnθ)
に対応する点でR (4 cosθ/ ( - 3 + sｉnθ) , 4( 1 + sｉnθ) /｛( - 3 + sｉnθ) √2｝ , 0 )
ここでθが変化するときのこの点Rの軌跡を求める。これを( X , Y , 0 )とおくと、
sｉnθ= (3Y√2 - 4)/(4 + Y√2) , cosθ = 4X /(4 + Y√2)
θを消去して、(3Y√2 - 4)＾2 + (4X)＾2 = (4 + Y√2)＾2　∴X＾2 + (Y - √2)＾2 = 2
これは点R( X , Y , 0 )の満たす関係式であり、点Rが円x＾2 + (y - √2) ＾2 = 2上にある
ことを示す式である。また、図形的にRはこの円上をすべて動くので、求める点Rの軌跡、即ちS
の輪郭は円x＾2 + (y - √2) ＾2 = 2　…（答）
(2) 解答１と同じ。