NO.10389757

0 名前：通りすがりの元鉄緑会大阪校の講師：2005/08/14 15:18

今日はじめて、何かのはずみで、このサイトに来てみて
皆さんが勉強に悩み、打ちこんでいる姿に共感しました。
そこで皆さんの手助けになれるよう今日から数学講義をしようと
思います。（やる気の続く限り）
週１～２問のペースで５０問くらい続ければいいけどなと
思いますので、宜しくね。
なお、題材はすべて過去問です。やはり、教授達が一年に
一回の為に、苦労して作った傑作が多いため、非常に力がつきます。
でも解答はすべて私のオリジナルで書きます。
僕のボケ防止と、何よりも皆様の数学力向上のため、楽しく解きましょう！

では、
問１：すべての正の実数ｘ、ｙに対し√ｘ＋√ｙ≦k√２ｘ＋ｙ
が成り立つような実数ｋの最小値を求めよ。　（１９９５東大）

解答その１：
「すべての正の実数ｘ、ｙに対し、√ｘ＋√ｙ≦k√２ｘ＋ｙ」
⇔「すべての正の実数ｘ、ｙに対し√ｘ＋√ｙ/√２ｘ＋ｙ≦k」?
ここに√２ｘ＝rcosθ √ｙ＝rsinθ　{x＞0 y>0のときr>0 0<θ<π/2}
とおけば右辺＝√1/2・cosθ+sinθ＝√3/2・sin(θ+α)≦√3/2
ここでαはtanα=1/√2なる角。
θ+α=/2のときこの等号は成立するので、√ｘ＋√ｙ/√２ｘ＋ｙのx＞0 y>0
における最大値は√3/2であり?⇔√3/2≦k （答）√3/2

本解答では「置き換えによりいかに式を簡単にしていくか」に注目して欲しい。

301 名前：匿名さん：2006/01/04 03:37

保守

302 名前：福岡の高校では：2006/01/05 11:32

物理と数学はこの辺で何とかしています。
http://blog.livedoor.jp/exjh6nql/?blog_id=1425177

303 名前：元塾講師：2006/01/08 01:07

>>270 さん。有り難う。
皆さん明けましておめでとう。元気にお過ごしでしょうか。
このコラムを去ってから数ヶ月たち今日久しぶりに、覗いて見ました。
「もうスレは削除されているかもね。」と思っていましたが、このように読んでくれている方が
いることを知り光栄に思います。慌てず、ゆっくりになりますが、もう少し頑張ってみようかし
らね。（数学は専門ではないので、あんまり期待しないでね。）
図形がらみの問題（ベクトル、複素平面、空間図形、求積）をこれから解説しようとしていたの
ですが図の添付が出来ないので、式処理以上に説明が面倒になりそうで挫折していました。
（仕事も忙しかったのですが）
でも、今日これを読み、出来る範囲で続けてみようかという気にもなりました。今まではミス
も多くまた、十分練られた解答・解説が多いなとも改めて思います（それでも予備校の解答よ
りはマシなもが多いとは自分では思っています）が、はじめから完璧なものは
作れないでしょうから、長い目で見てもらって、皆さんの意見を参考に少しづついいものがつ
くれればと思います。このスレをよいものにしていく為に、私の考え方を少し述べておきます。
私は現在臨床医をしております。現在の仕事も充実感、達成感はあり、また学問上興味深い
テーマも多いのですが、やはり医学には数学のもつ美しさや普遍性は無く、少しづづでも
数学に関わっていたいという気持ちがあります。また、自分自身は数学の道を断念したわけ
ですが、多少のものではありますが自分が持つ能力を活かすことで、将来を担う研究者を育
てたい、人類の存在意義の創造や人類の進歩・発展に貢献出来る人材を育てたいという思い
を持っています。
自分自身はやや病気がちな人間で常に死を意識して生きているため、与えられた生を全うし、
死から逃れる為の唯一の方法は、他人（後継者）に自分の持つものを与えていくことのみと
考えています。私が教えたいと思っているのは、将来科学研究者を目指す方です。
今後このスレを基に、改良版を作っていくと共に、高校数学の議論の場を別に作りたいと考
えていました。いわゆる数学力、論理的思考力を身につけるには、良質の素材、興味深い素
材の問題と解答研究することで地道に培っていくしかないでしょう。問題と解答をテーマに
議論する（もう一度強調したいのは単に解答を覚えるとか、解法をマスタ－するとかでは
不充分です。もっと良い解答を議論して数学力を高めていく議論の場が必要と考えています）
、そして数学的な正しい考え方、より普遍性のある考え方、より美しい考え方を、議論の中
で共に深めていくというような勉強をしたいと考えています。私の用意した解答はあくまで
一つの考え方で作られたものでこれから皆さんの協力で改良していきたいなと思っています。
最終的には別にそのような議論スレを作り、人生の一場面を共に共有できることがあればい
いな、そしてそれが後に残るものになればいいなと憧れています。

304 名前：元塾講師：2006/01/08 01:10

後半は図形問題を扱います。上手くテーマによる流れをつくっていけたらいいのですが。
まず、図形と式。正三角形の式処理（正三角形という状態の数式表現）から入りましょう。
以下3問を研究して下さい。

305 名前：元塾講師：2006/01/08 01:16

問37：
a , bを正の数とし、xy平面の2点A ( a , 0 )およびB ( 0 , b )を頂点とする正三角形をABC
とする。ただし、Cは第1象限の点とする。
(1)三角形ABCが正方形D = ｛( x , y )│0≦x≦1 , 0≦y≦1｝に含まれるような( a , b )
　の範囲を求めよ。
(2) ( a , b )が（1）の範囲を動くとき、三角形ABCの面積Sが最大となるような( a , b )
　を求めよ。また、そのときのSの値を求めよ。 　　　（東大　1997）

306 名前：元塾講師：2006/01/08 01:18

解答：
(1)C( p , q ) とおくと、△ABCは正三角形なのでCはBを中心にAを±60°回転させた所
に位置する。もっともCは第1象限の点なので、もし直線AB下になるとすれば、Cは
A、B、０通る円＝ABを直径とする円　の内部に含まれることになり∠ACB ＞∠AOB = 90°
となり、△ABCは正三角形を形成しない。よってCは直線ABより上にあるから、
ベクトルBCはベクトルBAを＋60°回転させたものであり、数式で書くと
( p , q-b ) = R(＋60°) ( a , -b ) = ( (a + √3・b)/2 , (√3・a - b)/2 )
∴p= (a + √3・b)/2　 , q = (√3・a + b)/2
求める条件は、3頂点が正方形D内に有ることが必要十分であるから
0≦a≦1 かつ 0≦b≦1 かつ 0≦ (a + √3・b)/2≦1 かつ0≦ (√3・a + b)/2≦1
これを図示して解答を得る。（図は略）

307 名前：元塾講師：2006/01/08 01:22

解答：
(2)△ABCは一辺AB = √(a＾2 + b＾2)の正三角形であるからS = √3/4 ･(a＾2 + b＾2)　。
点( a , b )が(1)で示した範囲を動くときの√(a＾2 + b＾2)　つまり点( a , b )と原点と
の距離が最大になるようなを求める。点( a , b )が動く範囲はにy = x関し対称なので
y ≧ xの範囲で考えれば十分であるが、これは図より( a , b ) = (√3 - 1 , √3 - 1)の
ときか( a , b ) = ( 2-√3 , 1)のときを考えれば十分である。いずれの場合も
a＾2 + b＾2 = 8 - 4√3を得るので、Sが最大になるのは( a , b ) = (√3 - 1 , √3 - 1)
又は ( 2-√3 , 1)又は( 1 , 2-√3 )の時で、この時S = √3/4 ･(8 - 4√3)　= 2√3 - 3を得る。　（答）

308 名前：元塾講師：2006/01/08 01:27

解説：
本問のポイントは正三角形という状態の数式化としてのもっとも初歩的な捉え方
「ベクトルX とベクトルYが正三角形の二辺を形成する
⇔ベクトルY = R(±60°)・ベクトルX 」
を使うことに尽きる。他辺を60°回転してもう一辺に重なるということになれば（「」内の後者の
式）、頂角60°の2等辺三角形ということになり、正三角形であることの必要十分な言い換えであ
ることは明らかであろう。これを使えば2頂点が決まれば、正三角形の3つ目の頂点の位置を求め
られるということである。
尚、（1）の解答でR(θ)はθの回転行列を意味し、ベクトル( p , q-b )　、( a , -b )　など
は縦に書いて欲しい。（列ベクトルで表記すること）

309 名前：匿名さん：2006/01/08 03:25

乙です

310 名前：匿名さん：2006/01/10 13:13

今日、偶然このスレにきてみたのですが>>303を読んで勇気を貰いました。
僕は家庭になるべく負担をかけたくない（理由は貧乏だから）ので学力もないのに
独学で勉強をしています。
独学ですので思うように計画通りに何時間掛けても先に進まず（数学に限らず）
大学受験を断念しようと考えていました。
将来は物理学や数学や生物学など自然科学系統の学問分野に別に研究者に
なれなくてもいいから学んでみたい、もっと徳を磨いて学問をしてみたいと思っています。
とにかく、いくら感謝しても感謝しきれない先人達の後継者になりたいと
夢をみていました。

ただ、藁掲示板にも書いたのですが学問に興味を抱いたのが中学校３年の後期
（きっかけは理科の授業で宇宙の勉強をしていて何か神秘的なものを感じたから）
だったので（それまでは怠け者）結果として今があり
「ちょっと遅すぎたかな～もっと早く色んな人から科学の話をしてもらえば良かった」
と後悔しています。

確かに数学は解らなくても楽しい。やりがいがある。
しかし受験勉強は純粋な学問とは違って要領が大切ですので、いちいち一つの
ことを正確に考え続けていたら時間がなくなるのではないか、と思っています。
仮に志望の東京大学理学部物理学科（国立だから金がかからない）に受かったとしても
何度も言いますが家が貧乏なので大学院には恐らくいけないと思います。
というより早く働いて家族（親）に楽をさせてあげたいな～と思っています。

ですから元塾講師さんを尊敬しています。
僕より厳しい状況でありながら夢や希望を持ち続け　そして
「よくもまぁこんなに難しい問題をいとも容易くハイハイと解けるな～
いつか自分もそんなふうになりたい」と思っています。

もし宜しければ学生の頃はどんなふうに勉強をしていたのか、参考にしたい
（参考にできる人間がまわりに居ない）
と思っていますのでお答えしてもらえないでしょうか？宜しく御願いします。

311 名前：元塾講師：2006/01/11 09:00

問題38：
xy平面の放物線y = x＾2上の3点P , Q , Rが次の条件をみたしている。
△PQRは一辺の長さaの正三角形であり、点P , Qを通る直線の傾きは√2である。
このとき、aの値を求めよ。　　　　　　　　　　　　　　　　　（2004　東大）

312 名前：元塾講師：2006/01/11 09:02

指針：
2点P , Qを決めれば（設定すれば）、正三角形の3つ目の頂点Rは決定する。
前問のように　ベクトルPR = R(±60°)・ベクトルPQ　という条件からRを求めて、
後はこのようにして定まるRがy = x＾2上にあるということからP , Qの条件を求めるという
のも自然な考えであり、この方向でも勿論正解できる。
ただ、PQの傾きが一定であることの利用を思い立てば、Rは PQの中点から、これと垂直に
即ち傾き- 1 /√2の方向に、長さ（√3/2）PQだけ進んだ点であるとして決める方が、より
綺麗に求まる。

313 名前：元塾講師：2006/01/11 09:07

解答：P ( p , p＾2)　、Q ( q , q＾2) とおく。ここで（必要ならPとQを入れ替えて考えることに
より）p＜q　としても一般性は失われない。
まずPQの傾きが√2であるから、　(q＾2 - p＾2)/( q - p) = p + q = √2 …?
また、傾き√2の斜面をもつ直角三角形の辺の長さの比は１：√2：√3であるから
PQの長さは√3( q - p) 。これがaに等しいので、q - p = a/√3　…?
?＾2 + ?＾2 より p＾2 + q＾2 = 1 + (a＾2/6)　。よってPQの中点Mは（√2/2 , 1/2 + (a＾2/12)）
ここでRは直線PQより上にあるので、〔∵Rが直線PQの下にあるとすれば、∠PQRは
cosα= √3/√2なる角αより小さく60°になることはないから〕　
RはMから、ベクトル（ -√2 , 1）の方向に長さ（√3/2）a だけ進んだ点であり、
ベクトルOR = ベクトルOM + （√3/2）a ・ 1/√3（ -√2 , 1）
= (√2(1 - a) /2 , (a＾2 + 6a + 6)/12)
このRがy = x＾2上にあるので(a＾2 + 6a + 6)/12 = (1 - a)＾2　/2　⇔　(3/2) a = (5/12) a＾2
∴ a = 18/5 (∵ a≠0) …（答）

314 名前：元塾講師：2006/01/11 09:10

訂正：>>313
cosα= √3/√2なる角αより小さく　→　cosα= √2/√3なる角αより小さく

１：√2：√3の直角三角形を添えて解答を作っています。

315 名前：元塾講師：2006/01/11 09:12

解説：教訓としては正三角形の状態の数式処理にもいくつか方法があり、なるべく計算が少
ないものを問題ごとに選択したいものである。
どのようにパラメーターを設定すれば、あるいはどのように置き換えていけば式は簡単に
なるのかを問題ごとにその場で判断していくべきであるということを既に述べたがそれと
同じである。見通しの立ったパラメータの設定、条件式の立て方を普段から心掛けておき
たい。また、条件をくまなく（必要十分に）使っているかも確認しながら、設定、立式す
ること。はじめが上手ければ、後は単純に計算するだけになる。
以上のように２等辺三角形の条件を具体的に数式化するならば、回転や垂直2等分線を
利用してまとめられる。より一般的な三角形の数式化については素数の演算におきかえる
（2辺のベクトルα, βの長さの比が　ｒ：１でなす角がθであれば
α = r (cosθ+ ｉ sｉnθ)・βと表現できるということ。逆にいえばα/βを計算すること
で三角形の形状が分かるということ。）、又はベクトルの演算に置き換えるということも
考えておく。

316 名前：30：2006/01/11 09:21

久しぶりにこのスレを見ました。私は現在、国立医学部の学生ですが、
家は経済的に決して豊かとはいえない状況です。
ですが、奨学金を月に４万、バイトで月８万ほど貰って、
それをコツコツ貯金して、親には迷惑をかけないようにしています。
>>310さん。お金のことで自分の夢をあきらめないでください。
道はいくらでもあります。
私も、些細ながらも贈り物をしたいので、さらにバイトを増やし
目標は月15万稼ぐことです。

P.S.
受験勉強（受験数学）は、確かに要領が大事です。
でも、それはそれと割り切って、大学に受かるまでは、黙々とやってやろう、
という気持ちがあったほうがいいと思います。
一度、大学に入学してしまえば、自分の時間が有り余るほどもてます。
大学に入ってから、ゆっくりと数学を探求しても遅くはないと思いますよ。

317 名前：元塾講師：2006/01/11 11:07

>>310
素晴らしい考え方と思います。別に大学に行かなくても、東大でなくても、科学はできると思
いますが、何かを目指して頑張る若者はただただ素晴らしい。是非、科学の道を目指して欲し
いと思います。現在、貧乏であるとか、孤独であるとかも、実は将来的に大きな武器になるも
のと思います。各自が自分の運命を受け入れて、その中で努力すればいいでしょう。あわてる
必要はないけれども、是非、時に苦しく悩みながら、時に楽しく、最大限努力してみて下さい。
さて、今の時代はどうかは知らないけど、勉強とは基本的に一人でやるものと思いますよ。
息抜きにしゃべる相手がいればそれにこしたことはないと思いますが、他の人と一緒では
じっくり考えることなど不可能でしょう。
勉強の仕方について具体的にアドバイスをしておきますと、初心者は解答から技や考え方を
盗んでいくしかないと思います。自分が答案を作れるようになる自信がつくまで繰り返し
答案を読み込んで研究しましょう。（といっても実際に答案を作ることまでは必要ないで
しょう。頭の中で答案の流れがイメージできるようになればクリアとして良いでしょう。）
数学の答案では「段落分け」というものが大切で、各段落は基礎的な
「～ならば　～である」という「仮定（条件）→結論」という構成からできているので、
単純な構造です。難しい問題でも解答をしっかり段落ごとに考えれば基礎事項の組み合
わせであることに気づくと思います。また、そういうようなしっかりした段落分け、
ステップ分けのある解答が、流れのある良い答案と考えています。私の解答も段落分け
や句読点の打ち方には、かなり気をつけて書いているつもりです。自分にとって分かり
にくい又は変な考えだなと思う答案は読まず、良い答案を（自分に合う答案、受け入れ
やすい答案を載せてる参考書）探して読んでください。僕の場合は、「青チャート」と
いう参考書で勉強していたと思います。
解答で重要な箇所は丸で囲んで、「～ならば　～である」という考え方の流れを1つ1つ
押さえていく勉強をしましょう。繰り返していくうちに、そういう考え方が自然で素直
だと受け入れられるようになるでしょう。そのような地道な勉強が結局一番の早道と
考えます。学問に王道なしです。
私としても、技巧的な解答を載せるつもりはなく、また高校数学の範囲を越えて、
高度な数学的背景に触れたりすることには避けています。教科書程度の知識があれば
読める解答を作っているつもりですし、（数学者を目指す人を対象にして書いている
のではないので。そもそも数学者を目指す人なら他人から教えられた答案は嫌で
しかたがないでしょうが…）、いわゆる普通の素直な丁寧な考え方、科学的・論理的
思考を身に付けられるようにする為の解答というものを用意しているつもりです。
是非参考にして下さい。

318 名前：元塾講師：2006/01/11 11:24

問39：
正三角形ABCがある。点Oを直線ABに関してCと反対側にとって∠AOB = 60°となるよ
うにし、ベクトルOA ,ベクトルOB ,ベクトルOC　をそれぞれa , b , cで表す。このとき
c = (│b│/│a│) a + (│a│/│b│) b
であることを証明せよ。ただし│a│,│b│はそれぞれ a , b の大きさを示す。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （1973　京大）

319 名前：元塾講師：2006/01/11 11:28

解答：
Cが直線ABのベクトルABの方向から見て左側に位置するとしてしてよく（必要なら直線AB
に関し折り返して考えればよい）、このときベクトルAC = R(60°)・ベクトルAB
∴　c - a = R ( b - a) 　∴ c = a - R ・a　+ R ・b　（☆）〔Rは60°の回転を表す行列〕
ここにR ・b とは bを60°回転させたものであり、図形的にaと平行になる。ただし長さは
│b│に等しいので、R ・b　= (│b│/│a│) a　…?
次にAをOの回りに60°回転して得られる点をDとおくと、ベクトルOD = R ・a　であり、
a - R ・a　= ベクトルOA - ベクトルOD = ベクトルDAとなる。ここで三角形OADは正三角
形であるから　∠OAD = 60°= ∠AOB となり、錯覚が等しいのでDAはOBと平行になる。
またDAの長さは正三角形の一辺の長さ│a│に等しく、ベクトルDA = (│a│/│b│) b　。
∴ a - R ・a　=　(│a│/│b│) b　…?　　　?、?を（☆）に代入して証明すべき式を得る。　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（証明終わり）

320 名前：元塾講師：2006/01/11 11:30

解説：
? について：ベクトルOAと同方向の単位ベクトル（=長さ１のベクトル）は（1/│a│）a
であるから後は長さを│R ・b│=│b│に調整したものだということです。
ベクトルは方向と長さ（大きさ）で決まることに留意しましょう。
? についても同様です。

示すべき結果は、c を一次独立な2ベクトルa , b を用いてどう表現されるのかを表して
います。この意味を直接考えても（物理の力学でやるように、平行四辺形を作って
ベクトルOCを a , b の2方向のベクトルに分解する）より初等幾何的な別解を得るでしょう。
（図を書いて合同な三角形を見つけて結果を確認しておいて下さい。）

321 名前：元塾講師：2006/01/11 11:53

訂正：>>315 の解説後半
三角形の数式化については素数の演算におきかえる →
　　　三角形の数式化については複素数の演算におきかえる

322 名前：311：2006/01/12 10:29

>>316-317さん。
御返答とアドバイスを、どうも有難うございました。
励まされているばかりで何も出来ない僕ですが、いつか>>316-317さんみたいに
人に勇気を与えられる人間になれるように頑張りたいと思います。

どうやら僕は自分の学力不信を「家が貧乏だから」とか「環境が悪いから」など
と、人のせいにしていたみたいです。
「何か自分に不都合があると直ぐに人のせいにする」というような人間には
ならないように努力していますが、まだまだ未熟だったようです。

自分でいうのも難ですが未だ高校２年なので頑張って色々な事に挑戦し
諦めないで学問に対する目的・やる気・興味を持ち続け、夢を叶えたいと思います。
では、またいつかお会いしましょう。

323 名前：元塾講師：2006/01/15 10:29

引き続き図形と式。複素数による処理に関する問題をまず2問。

324 名前：元塾講師：2006/01/15 10:31

問40：
Oを原点とする複素平面上で6を表す点をA , 7 + 7 ｉ　を表す点をBとする。
ただし、ｉ は虚数単位である。正の実数tに対し、14(t - 3)/｛(1 -ｉ)t - 7｝を表す点Pをとる。
（1）∠APBを求めよ。
（2）線分OPの長さが最大になるtを求めよ。　　（2003　東大）

325 名前：元塾講師：2006/01/15 10:32

解答：
（1）各点を表す複素数をアルファベットの小文字で表す。
b - p = (7 + 7 ｉ) - 14(t - 3)/｛(1 -ｉ)t - 7｝ = (- 7 - 49 ｉ)/｛(t - 7) - t ｉ｝
a - p = 6 - 14(t - 3)/｛(1 -ｉ)t - 7｝ = (- 8t - 6t ｉ)/｛(t - 7) - t ｉ｝ であるから、
(b - p) / (a - p) = ( 7 + 49 ｉ)/( 8t + 6t ｉ) = (7/2t)・ (1 +ｉ )　 〔分母の実数化〕
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　= (7/2t)・(cos45° + ｉ sｉn45°)　
これはベクトルb - pはベクトルa - pを45°回転して(7/2t)　倍拡大したものであることを
表しているので　∠APB　= 45° …（答）

326 名前：元塾講師：2006/01/15 10:35

（2）　(1)のときPは弧ABに対する円周角が一定になるように動くから、A、Bを通る円の周上
を動く。また、∠AOB = 45°に留意すれば、この円は原点Oも含むので、三角形OABの外接円
といえる。この円の中心は線分OA、線分OBの垂直2等分線　x = 3 , y = - x + 7の交点
（3, 4）〔これはxy座標平面での位置を意味する。複素平面での表示としては点3 + 4 ｉ 。〕
であるから。求める点Pの位置は、中心を挟んでOと反対側の点6 + 8 ｉである。
求めるtは14(t - 3)/｛(t - 7) - t ｉ｝= 6 + 8 ｉ を分母を払って整理して(2t - 56) ｉ= 0
∴t = 28 …(答)

327 名前：元塾講師：2006/01/15 10:42

解説：
（1）基本問題であろう。ベクトルPBとベクトルPAの比を複素数で求めることはベクトルPAを
ベクトルPBにする為の操作（回転と拡大）を表す。
複素数の基本形はa + b ｉという形であるので、(b - p) / (a - p)の計算結果も
x + y ｉ の形で求まるが、座標平面上のすべての点は、原点までの距離とx軸からの偏角θ
を用いて（ x , y ）= (r cosθ, r sｉnθ) と書けるので、任意のx + y ｉ は更に
r (cosθ+ ｉsｉnθ) と書けることになる。〔r = √（x＾2 + y＾2）　,
θはcosθ = x / √（x＾2 + y＾2） , sｉnθ = y / √（x＾2 + y＾2）を満たす角〕。
このように複素数の比を取った結果は、分母の位置（ベクトル）を分子の位置（ベクトル）
にする為の操作がθの回転とr倍の拡大であることを示している。　従って隣り合う
2辺ベクトル（を表す複素数）の比を取ることで、三角形の形状（2辺比１挟角）が調べら
れることになる。
（2）（１）をヒントに図を書いて考えれば何でもないと思われる。
なお、中心をX、OPの延長と円との交点をP'とおくと、円周上の点Pに対して、
三角形の成立条件からOP≦OX　+ X P' = 2O X = 円の直径の長さ　
（ベクトルで書けば、│ベクOP│= │ベクOX　+ ベクX P'│≦│ベクOX│　+ │ベクX P'│。
等号はベクOX　と ベクX P'が同方向で平行のとき）であり、
等号が唯一成立するのがP = P'のときなのでOPの最大値は2O P'　= 10 。 と説明できるが、
ここまでの説明は要らないだろう。

328 名前：元塾講師：2006/01/15 10:45

>>327 訂正：最後の部分
OPの最大値は2O P'　= 10 。 →　OPの最大値はOP'= 2OX　= 10

329 名前：元塾講師：2006/01/15 10:51

問41：複素数平面上の原点以外の相異なる2点P（α） , Q(β) を考える。
P(α) , Q(β)を通る直線をL、原点からLに引いた垂線とLとの交点をR(ω)とする。
ただし、複素数γが表す点CをC(γ)とかく。このとき、
「ω =αβであるための必要十分条件は、P(α), Q(β) が中心A（1/2）,半径1/2の円周上
にあることである。」
を示せ。　　　　　（　2000　東大）

330 名前：元塾講師：2006/01/15 10:52

方針：まずωの満たすべき条件式を書くべきだが、これはよくある条件であるし、これから何を
示せばいいのかという目標もはっきりしている（問題に書いてある）ので方針は立てやすい問題
である。ただ、計算がややこしいのと、必要性と十分性に分けた丁寧な論証が必要と考える。

331 名前：元塾講師：2006/01/15 10:53

解答：
Rの定義よりPR　//PQ　?　かつ OR　⊥PR　?　。これを複素数の式で表すと、
? より　(ω-α)/(β-α)　は実数で、(ω-α)/(β-α) = (ω-α)/(β-α)
　 ⇔ (ω-α) (β-α) = (ω-α) (β-α) ?
? より　ω/(ω-α)　は純虚数で、　ω/(ω-α) = -ω/(ω-α)
⇔ 2│ω│＾2 - ωα - ωα = 0 ⇔　│ω- (1/2)α│-= (1/2) │α│　 ?
ωは??を満たす複素数として1つに決定される。

332 名前：元塾講師：2006/01/15 10:56

（必要性の証明）
ω =αβのとき、ωは??を満たすことから、?に代入して
│α││β- (1/2)│-= (1/2) │α│　∴│β- (1/2)│-= 1/2　　　〔∵│α│≠0　〕
全く同様にOR⊥QRから∴│α- (1/2)│-= 1/2が導かれるので示された。

（十分性の証明）
│α- (1/2)│= 1/2 , │β- (1/2)│= (1/2) （☆）のとき、?かつ?を満たすωがαβに
一致することを示せばよいが、??を満たすωは図形的に1つに決定しているので、ω =αβ
が?,?の解であることを確認すれば足りる。
ω =αβとすれば、?⇔│α││β- (1/2)│-= (1/2) │α│。これは（☆）のとき成り立つ。
また、ω =αβとすれば、?⇔（αβ - α）（β - α ） =　(αβ -α )(β - α)
　　　　　　　　　　　　 ⇔│β│＾2 （α - α） + │α│＾2 （β - β） = αβ - αβ
であるが、（☆）のとき│α│＾2 = （1/2）・(α + α) , │β│＾2 = （1/2）・(β +β)なので、
この左辺=（1/2）・(β +β) （α - α）　+　（1/2）・(α + α) （β - β） = 右辺
よって?も確かに成り立つ。
以上より（☆）のとき、ω =αβは?、?を成立させるので??の解といえる。∴ω =αβ。
（証明終わり）

333 名前：元塾講師：2006/01/15 10:57

コメント：尚表記上、αの共役複素数をαで示している。バーを上に持って行けなかったので、
ご容赦を。

334 名前：元塾講師：2006/01/15 11:02

>>332,334
共役複素数はこの板の書き込みでは、表現できないようですね。
バーを書いたつもりがすべて、なくなってしまっています。おかしな数式になってしまいます。
また、´（ダッシュ）でも使って書き直してみます。
汲み取って読んでね。

335 名前：元塾講師：2006/01/15 11:03

指針：複素数の計算で抽象的にやろうとせず、普通のxy座標平面で考えて成分計算に持
ちこんでも大した計算にはならない。今までの式の分野の解説で、式のまとめかたに対
するセンスが身についている人なら問題ないでしょう。

336 名前：元塾講師：2006/01/15 11:06

別解：　α = a + b ｉ , β = c + d ｉ (a, b, c, d は実数)　とおく。
αβ= ( ac - bd ) + (ad + bc)　ｉ であり、これで表される点がOからPQに下ろした垂線の足
といえるための条件（つまりωとαβが等しいときのその条件）は　
( ac - bd - a , ad +bc -b ) // (c - a , d - b)　?かつ　( ac - bd , ad +bc ) ⊥ (c - a , d - b)　　?
?より( ac - bd )( d - b ) = ( ad + bc )( c - a) + ( ad - bc )
　　　　　∴( a＾2 + b＾2) d = (c＾2 + d＾2) b + ( ad - bc )　　?
?より( ac - bd ) ( c - a ) + ( ad + bc )( d - b) = 0
　　　　　∴( c＾2 + d＾2) a = (a＾2 + b＾2 ) c　　　　　　　　　　?
?×a　に対し?を用いると　　
(a＾2 + b＾2) ad = (a＾2 + b＾2 ) bc + ( ad- bc)　⇔　(a＾2 + b＾2) (ad - bc) = a ( ad- bc)
∴a＾2 + b＾2 = a 〔∵ad - bc = 0即ち( a , b )//( c , d )とするとPQは原点を通る直線となり、
ω= 0であるから、ω =αβは満たされない。よってω =αβの条件下ではad-bc ≠0で考えてよいから〕
　よって点Pは点（1/2 , 0）（複素数では1/2）を中心とし半径1/2の円上にある。
また、?×c　に対し?を用いると同様にc＾2 + d＾2 = cを得るので、点Qは（1/2 , 0）を中心
とし半径1/2の円上にあることが分かる。　　　　　　　　　（必要性の証明終わり）
逆にa＾2 + b＾2 = a c＾2 + d＾2 = cのとき?,?は満たされるので、従って?,?　が満たされ
る。これは点αβが点OからPQにおろした垂線の足であることを示し、ω =αβ
(十分性の証明終わり)

337 名前：匿名さん：2006/01/15 11:07

別解の解説：?、?まできたらここからどうするかですが、目標はa＾2 + b＾2 = a　（と
c＾2 + d＾2 = c）を導き出すことという事を念頭においていれば、できる限りｃ　、d
を消去する方向で式を扱うことになる。2式から一気にｃ　、dが消去できるわけはないが、
（ad - bc）という単位が両辺に共通して出るので上手くいく。

338 名前：匿名さん：2006/01/15 11:57

元塾講師さんご苦労様です。

339 名前：元塾講師：2006/01/15 14:38

問題41の解答が表記の関係でおかしくなってしまったので、再掲しておく。
各自ダッシュをバーに直して、読んで欲しい。

340 名前：元塾講師：2006/01/15 14:40

解答：
Rの定義よりPR　//PQ　?　かつ OR　⊥PR　?　。これを複素数の式で表すと、
? より　(ω-α)/(β-α)　は実数で、(ω-α)/(β-α) = (ω'-α')/(β'-α')
　 ⇔ (ω-α) (β'-α') = (ω'-α') (β-α) ?
? より　ω/(ω-α)　は純虚数で、　ω/(ω-α) = -ω'/(ω'-α')
⇔ 2│ω│＾2 - ωα' - ω'α = 0 ⇔　│ω- (1/2)α│= (1/2) │α│　 ?
ωは??を満たす複素数として1つに決定される。

341 名前：元塾講師：2006/01/15 14:43

（必要性の証明）
ω =αβのとき、ωは??を満たすことから、?に代入して
│α││β- (1/2)│= (1/2) │α│　∴│β- (1/2)│= 1/2　　　〔∵│α│≠0　〕
全く同様にOR⊥QRから∴│α- (1/2)│= 1/2が導かれるので示された。

（十分性の証明）
│α- (1/2)│= 1/2 , │β- (1/2)│= (1/2) （☆）のとき、?かつ?を満たすωがαβに
一致することを示せばよいが、??を満たすωは図形的に1つに決定しているので、ω =αβ
が?,?の解であることを確認すれば足りる。
ω =αβとすれば、?⇔│α││β- (1/2)│= (1/2) │α│。これは（☆）のとき成り立つ。
また、ω =αβとすれば、?⇔（αβ - α）（β' - α' ） =　(α'β' -α' )(β - α)
　　　　　　　　　　　　 ⇔│β│＾2 （α - α'） + │α│＾2 （β' - β） = αβ' - α'β
であるが、（☆）のとき│α│＾2 = （1/2）・(α + α') , │β│＾2 = （1/2）・(β +β')なので、
この左辺=（1/2）・(β +β') （α - α'）　+　（1/2）・(α + α') （β' - β） = 右辺
よって?も確かに成り立つ。
以上より（☆）のとき、ω =αβは?、?を成立させるので??の解といえる。∴ω =αβ。
（証明終わり）

342 名前：元塾講師：2006/01/15 14:45

コメント：尚表記上、αの共役複素数をα'で示している。バーを書いても文字に反映されな
いようなので。読みにくくて申し訳ないが、ご容赦を。従って、α・α'　= │α│＾2である。

343 名前：元塾講師：2006/01/15 14:47

補足：
「Rの条件は垂線の足ということで、これはRがPQ上にあることとORとPRが垂直になる
という2条件で１つの点に決定される。」ことは既に述べたが、これをORとPQが垂直に
なるとしても構わないのは勿論である。ただ微妙に答案が違ってくるので、念のため
解答をつけておく。解答を研究するだけでも論証力と計算力が鍛えられそうなので、
こちらも取り組んでおいて欲しい。

344 名前：匿名さん：2006/01/15 14:47

解答１の補足：
Rの定義よりPR　//PQ　?　かつ OR　⊥PQ　?　。これを複素数の式で表すと、
? より　(ω-α)/(β-α)　は実数で(ω-α)/(β-α) = (ω'-α')/(β'-α')
⇔ (ω-α) (β'-α') = (ω'-α') (β-α) ?
? より　ω/(β-α)　は純虚数で　ω/(β-α) = -ω'/(β'-α')
⇔ ω(β'-α') + ω' (β-α) = 0 ?
ωは??を満たす複素数として1つに決定される。

345 名前：匿名さん：2006/01/15 14:50

（必要性の証明）
ω =αβのとき、?,?に代入して整理すると
（α-α'）│β│＾2　= （β-β'）│α│＾2　+　αβ'　-　α'β　　　　　?
（α+α'）│β│＾2　= （β+β'）│α│＾2　　　　　　　　　　　　　　　　?
?の両辺に（α+α）を掛け、?を用いると（│β│＾2　を消去すると）
2（αβ'　-　α'β）│α│＾2　= （αβ'　-　α'β）（α+α'） を得る。
ここでαβ'　-　α'β≠0であるから〔∵αβ'　-　α'β = 0とすれば、α/β=α'/β'であり、
これはα/βが実数つまり、実数を用いてα= kβであることを示す。これは図形的には
PQが原点Oを通ることを示すのでω= 0この時ω =αβは成立しないので、ω =αβという
条件の下ではαβ'　-　α'β≠0が必要である〕辺々をこれで割って、
2│α│＾2　= α+α'　⇔│α- (1/2)│= 1/2。
全く同様に?の両辺に（β+β'）を掛け、?を用いると（│α│＾2　を消去すると）
│β- (1/2)│= 1/2が導けるので、点P、Qは中心A（1/2）半径1/2の円周上にある。

（十分性の証明）
│α- (1/2)│= 1/2かつ│β- (1/2)│= 1/2　のとき、即ち│α│＾2　= （1/2）(α+α')　
,│β│＾2　= （1/2）（β+β'）のとき、?、?が成り立つ。これはω =αβが?、?の解である
ことを示すので、?、?を満たすRについてもωとαβは一致する。　　　　　　（証明終わり）

346 名前：匿名さん：2006/01/15 14:53

コメント：
他に幾何的アプローチでの解法もできるようである。自分の向き不向きを考えてどういうアプ
ローチが自分にとって実践的かも考えておいて欲しい。
一般的に初等幾何による解答というのは、その場のひらめきに左右されるのと、説明に時間が
かかるが、向いている人には早くかつ簡潔な答案が書けることが多い。ただ、all or nothｉng
になりやすいので、こればかりではつらいこともある。
代数幾何的なアプローチ（幾何的状態の代数表現）は、はじめの設定をうまく作れれば後は
計算あるのみであるので分かりやすいが、計算のセンスは必要かもしれない。
もっとも、普段の基礎学習ではすべての解答に目を通して、あるいは自分でも別解を考えてみて、
いろんなアプローチを勉強しておくべきであろう。特に幾何的解法は、図形問題、代数幾何の
問題に限らず、関数、単純計算においても重要なものになることが少なくない。
式処理のところでも何回か述べたことだと思うが、「図形を式で表現していくのと同様、
式が図形状態を表す」という視点を持つことも大切であると強調しておく。

347 名前：元塾講師：2006/01/15 14:59

引き続き図形と式。次はベクトルと初等幾何による処理に関する問題を数問。
いよいよ図形色を濃くしていくので、請うご期待。（後日）

もう複素数の解答を打ちこむのは懲り懲り…。では、素晴らしき学生生活と青春を。

348 名前：匿名さん：2006/01/16 05:28

お疲れ様です。ご無理をなさらず引き続きよろしくお願い致します。

349 名前：匿名さん：2006/01/17 22:34

gj

350 名前：匿名さん：2006/01/18 06:31

初等幾何。niceな響きです。
期待しています！！