NO.10389757

0 名前：通りすがりの元鉄緑会大阪校の講師：2005/08/14 15:18

今日はじめて、何かのはずみで、このサイトに来てみて
皆さんが勉強に悩み、打ちこんでいる姿に共感しました。
そこで皆さんの手助けになれるよう今日から数学講義をしようと
思います。（やる気の続く限り）
週１～２問のペースで５０問くらい続ければいいけどなと
思いますので、宜しくね。
なお、題材はすべて過去問です。やはり、教授達が一年に
一回の為に、苦労して作った傑作が多いため、非常に力がつきます。
でも解答はすべて私のオリジナルで書きます。
僕のボケ防止と、何よりも皆様の数学力向上のため、楽しく解きましょう！

では、
問１：すべての正の実数ｘ、ｙに対し√ｘ＋√ｙ≦k√２ｘ＋ｙ
が成り立つような実数ｋの最小値を求めよ。　（１９９５東大）

解答その１：
「すべての正の実数ｘ、ｙに対し、√ｘ＋√ｙ≦k√２ｘ＋ｙ」
⇔「すべての正の実数ｘ、ｙに対し√ｘ＋√ｙ/√２ｘ＋ｙ≦k」?
ここに√２ｘ＝rcosθ √ｙ＝rsinθ　{x＞0 y>0のときr>0 0<θ<π/2}
とおけば右辺＝√1/2・cosθ+sinθ＝√3/2・sin(θ+α)≦√3/2
ここでαはtanα=1/√2なる角。
θ+α=/2のときこの等号は成立するので、√ｘ＋√ｙ/√２ｘ＋ｙのx＞0 y>0
における最大値は√3/2であり?⇔√3/2≦k （答）√3/2

本解答では「置き換えによりいかに式を簡単にしていくか」に注目して欲しい。

151 名前：匿名さん：2005/09/13 16:24

このスレすごいねｗ

152 名前：○○社：2005/09/14 08:11

ここまでの良スレは未だかつて見たことが無い



１はネ申

153 名前：匿名さん：2005/09/14 12:59

２ｃｈから湧いてきた奴がいるし

154 名前：匿名さん：2005/09/15 03:09

>>29の問題は
e<πであることを使って証明してもOKですか？

155 名前：元塾講師：2005/09/15 12:25

>>154
e<πなど使う必要はありません。e≠πであれば、g(π)<g(e)なのです。（g(x)はx = eのとき最大なので）
問題だけ出して、解答・解説をつけないのでは、自分の答案と比較する機会がなく、
間違えて理解しかねないので簡単に解答をつけておきます。

解答：
π＾e＜e＾π⇔e (log π)＜π ⇔(log π)/π ＜1/e　?
ここでg(x)=(log x)/x ｛定義域x＞0｝の増減を調べると、>>16解答その１に示したように
g(x)はx = eのとき最大値1/eをとるので、g(π)＜1/e　。よって?が言える。
（答）π＾e＜e＾π

156 名前：元塾講師：2005/09/15 12:35

問26：
実数x , yがx ≧y ≧1を満たすとき、次の不等式が成立することを示せ。
(x + y -1) log 〔2〕 (x + y) ≧ (x -1) log〔2〕 x + (y - 1) log〔2〕 y + y
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（2000　京大文系後期）

表記上の注意：log〔2〕 x　とは2を底としたxのlogarithm（対数） のことである

157 名前：元塾講師：2005/09/15 12:40

解答：
右辺 = (x -1) log〔2〕 (x + y) + y log〔2〕 (x + y)
≧ (x -1) log〔2〕 x + y log〔2〕 (2y)　　　　　〔∵ x ≧y ≧1 〕
= (x -1) log〔2〕 x + y ( 1 + log〔2〕 y )
≧ (x -1) log〔2〕 x + (y - 1) log〔2〕 y + y 〔∵ y ≧1 よりlog〔2〕 y ≧0〕
= 左辺 ∴示された

158 名前：元塾講師：2005/09/15 12:52

解説：　
左辺で文字間のバランスが既れている点で、x, yのバランスを重視した扱い（問25のように）
をしても無理で、そう言う意味では、きれいな方針の立てにくい問題であるが、以下のよう
に考えてみた。右辺と左辺を比較するとき、右辺を左辺の形に近づけようとするのが常である。
そのとき、(x + y -1) log 〔2〕 (x + y)を (x -1) log 〔2〕 (x + y) と y log 〔2〕 (x + y) と
分解するか、x log 〔2〕 (x + y) と (y - 1) log 〔2〕 (x + y)　と分解するか、
(x -1) log 〔2〕 (x + y) と(y - 1) log 〔2〕 (x + y)　とlog 〔2〕 (x + y)に分解するか
であるが、左辺に+ yがあるのに注意したい。例えば(y - 1) log 〔2〕 (x + y)という形で分解した場合、
これと左辺の(y - 1) log〔2〕 yという形とは比較しやすいが、この段でlogの係数y を
使い果たしてしまうと左辺の+ yの部分と比較するものが無くなる。( log 〔2〕 (x + y)　とｙでは
比較にならない。yが十分大きければlog 〔2〕　(x + y)　<< ｙ であるから。）
そこで右辺を解答のように分解し、y log 〔2〕 (x + y) と (y - 1) log〔2〕 y + yの比較を議論
した。この比較においても、下記の、独立2変数関数の扱い方を知っていると、便利だろう。
つまり前者でx をx ≧yの範囲で動かした時の最小値はx = y のときだと考えるのである。

159 名前：元塾講師：2005/09/15 12:55

別解：　　　実数x , yがx ≧y ≧1を満たして動く時の、
関数 ｆ （x,y）= (x + y -1) log 〔2〕 (x + y) - ｛(x -1) lo〔2〕 x + (y - 1) log〔2〕 y + y ｝
の動き（最小値）を考える。その為に、まずｙを固定して考え（１以上のある数に固定、つまり
定数として扱う）これをxの関数としてｇ（x）とすると、
ｇ'（x）= log 〔2〕 (x + y) + (x + y -1) ・１/(x + y) - ｛log〔2〕 x + (x -1) ・１/x ｝
= ｛ log 〔2〕 (x + y) - log〔2〕 x ｝　+ y/x(x+y) ＞0
よってｇ（x）はx ≧y の範囲で単調増加関数なので、
xがx ≧y を満たして動く時　ｇ（x）の最小値はg(y) ここに
g(y) = (2y - 1) log 〔2〕 (2y) - ｛2(y - 1) log〔2〕 y + y ｝
　　= (2y - 1)｛1 + log〔2〕 y ｝　- ｛2(y - 1) log〔2〕 y + y ｝ = log2 y + y - 1 ≧0 〔∵ y ≧1 〕
よってｆ （x,y）=ｇ（x）≧g(y) ≧0　∴示された。
なお、x = y かつ y = 1のとき（⇔x = y= 1のとき）上の2つの等号が同時に成立する。

160 名前：元塾講師：2005/09/15 12:59

別解の解説：
本問題集の配列からはこっちが本解です。文字式を関数として扱うという視点に立ち、
いわゆる多変数関数の一般的な扱い方を示した。面白い解答ではないが、逆にいえば
普遍的、万能な解答で必ず出来なければならない解答である。
示すべきは右辺 - 左辺の関数が（ｘ、ｙが条件内でどのように動いても）常に0以上
であることである。これを関数論として考えるならば、この右辺 - 左辺は独立2変数
関数である。
この場合どちらも変数だからといって2文字を一辺に動かしても、訳がわからなくなる
ので、まずは一方、例えばy をある値に固定して、動くものを1つにし、ｘの動きに対
して関数がどのように動くか、どのような最小値をとるかを考える。
最小値を与えるxはｙの入った式になることも多く、その最小値はy の文字で表現できる。
各y に対して、これが関数の最小値なのだから、更にyがいろいろな値を取って動くとき、
このyの関数の最小値を求めればよい。
これが、最小の中の最小である。（予選決勝法）
以上を式で表現すればf （x , y）≧ g(y) ≧M　（☆）　。
このとき、f （x , y）の最小値はMといえる。

161 名前：元塾講師：2005/09/15 13:04

補足を加えると、なぜなら、
ｐ（x）の最小値がＩ　⇔　「すべてのx に対しｐ（x）≧Ｉ　」かつ「あるxがあってｐ（x）＝Ｉ　」
であるが、（☆）において等号成立は第１不等式に関してはx = ψ(y) であり、第２不等式に
関しては y = k　（=定数） のときであるので、x = ψ(y)かつy = k　のようなx , yを考
えれば（☆）の2つの不等式の等号を同時に成立させ、f （x , y） = Mが実現できるので
ある。
この等号同時成立が可能なのは、「独立」多変数関数を考えているからだという、理論的構造
をよく理解しないといけない。（x, yが従属しているつまりyを決めるとxが自動的に決まる
のなら、x = ψ(y)かつy = k　のようなx, yはとれない恐れがあり等号同時成立しなくなる
ことが考えられるため。このときf （x , y）＞Mであり、Mは取り得ない値であるから、
最小値といえなくなる　）
等号同時成立し得るから最小値がMであるという論理的構造をよく理解すること。
そして予選決勝法の基本はあくまで「独立」多変数関数において使うことをよく確認して
おきましょう。

162 名前：元塾講師：2005/09/15 13:23

>>150,152,153
有り難うございます。
こんなに読んでくれている人がいたなんて感激です。
つまらない一市民の数学観ですが、高校数学の考え方を50～60問に凝縮したいと思っています。
年内に完成できるよう頑張って見ます。
なるべく基礎的、普遍的な考え方での解答を作っていますので、参考になる考え方あれば
どんどん利用して下さいませ。でも、より応用性のある解答指針があれば教えて下さい
（高度な数学的事実を使ったり、マニアックなのは好きでないですが）。
切磋琢磨してはじめてよい物が出来ると思いますので。

163 名前：元塾講師：2005/09/15 13:28

問27：
xyz空間内の点P ( 0, 0 ,1)を中心とする半径1の球面Kがある。
K上の点Q ( a ,b ,c )が条件a＞0 ,b＞0 ,c＞1のもとでK上を動くとき、QにおいてKに
接する平面をLとし、Lがx軸 , y軸 , z軸 と交わる点A , B , Cをとする。このような
三角形ABCの面積の最小値を求めよ。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（1987　東大）

164 名前：元塾講師：2005/09/15 13:30

解答：　　L上の点Ｘ　( a ,b ,c )が満たすべき条件は
ベクトルPQ⊥ベクトルQX　⇔ベクトルPQ・ベクトルPX = │ベクトルPQ│＾2
よってPQ = 1より これを整理して　ax + by + (c -1)z = c
これが平面Lの方程式である。これとx軸 , y軸 , z軸との交点を求めて
A (c /a , 0 , 0 ) B ( 0 , c /b , 0 )　 C ( 0 , 0 , c /( c- 1) )
∴　ベクトルAB = (- c /a , c /b , 0 ) , ベクトルAC = (- c /a , 0 , c /( c- 1) )
よって△ABC = 1/2 √｛│ベクAB│＾2 ・│ベクAC│＾2 - (ベクAB ・ベクAC)＾2｝
　　　　　　　= 1/2 √｛(c＾2 /a＾2 + c＾2 /b＾2) ・(c＾2 /a＾2 + c＾2 /(c -1) ＾2) - (c2/a2)＾2｝
= c＾2 /2ab(c -1) 〔∵　a＞0 ,b＞0 ,c＞1 , a＾2 + b＾2 + (c-1) ＾2 = 1　　（※）　〕

165 名前：元塾講師：2005/09/15 13:32

ここでa ,b ,cが（※）を満たして動くときのこの関数の最小値を考える。まず、
cを1＜c (＜2)の範囲で固定して考えるとa , bは a＞0 ,b＞0, a＾2 +b＾2 = 2c - c2を満た
して動くことになり、このとき 2c - c2 = a＾2 + b＾2 ≧ 2ab より2abはa = b (= √(c - c＾2/2) )
のとき最大値2c - c2をとる。∴ △ABC≧c＾2 / (2c - c2) (c -1) = c / (2 - c) (c -1)
次に、f (c) = c / (2 - c) (c -1) とおくとf (c) = c /(-c＾2 + 3c - 2) = 1/｛3 -(c +2/c)｝であり、
1＜c (＜2)のとき3 ＞c + 2/c ≧2√c・(2/c) = 2√2 〔等号はc = √2のとき〕であるから
f (c) ≧1/(3 -2√2) = 3 + 2√2　。　　以上より、a = b (= √(c - c＾2/2) )かつc = √2　のとき
△ABCの面積は最小値3 + 2√2　をとる。　（答）

166 名前：元塾講師：2005/09/15 13:34

解説及び別解分枝：
平面ＬはベクトルPQ = ( a , b , c-1 )に垂直な平面、即ちベクPQを法線ベクトルとする平面
なので、ax + by + (c -1)z = k と書ける。あとは更に点Qを通ることから定数kを決めればよい。
ところでなぜ法線ベクトルが直線や平面の式の係数として現れるかは分かりますね？
これは法線ベクトルをnとした場合、平面ないし直線の式は、通る1点の位置ベクトルをベクpと
すると、　ベクn・（ベクx -ベクp） = 0　⇔　ベクn・ベクx = k（定数）と書けるので、
これを成分表示すれば ベクnとベクx の内積が方程式として現れてくるからと考えてもらえば
よいでしょう。
上の解答では、2つの（辺）ベクトルで形成される三角形の面積の公式を用いて求めたが、
△ ABCの面積の求め方は三角錐O -ABC の体積はを2通りで表すことにより求めてもよい
でしょう。即ち、三角錐O -ABC の体積は一方では、△OABを底面、OC を高さと見て、
1/6・c /a ・c /b ・c /( c- 1) と表せれ、他方では△ABCを底面、Oと平面Ｌとの距離
│c│/√｛a＾2 + b＾2 + (c-1) ＾2｝ = c を高さと見て、1/3・c ・△ABC
1/6・c /a ・c /b ・c /( c- 1) = 1/3・c ・△ABC 　∴ △ABC = c＾2 /2ab(c -1)

167 名前：元塾講師：2005/09/15 13:36

この多変数関数の扱いであるが、まずバランス感覚から言ってcを固定すれば、その固定
したｃにたいしての上記関数の最小値がc を含んだ形で求まるでしょう。
あとはここでｃをいろいろ変えていく中での（ｃを動かす中での）このｃの関数の最小値
を求めればよい。まさに最小の中の最小である。（文字固定法＝予選決勝法）
もう少し詳しく述べると、本文はa ,b ,cの変数あるが、1つの拘束条件があるので、
実質2変数関数である。ならば一文字を固定すれば、残るは残った一文字に関する1変数
関数となり、その変化は微分法なりで解析できる。どの文字を固定するかを考えれば、
登場回数が最も多いかつ、バランスから外れているｃを固定するのが普通だと考える。
最後のｃの関数の扱いは、微分法による解析に依るまでもなく、1次式/2次式という
分数関数なので相加平均≧相乗平均を使える形に必ず持っていけることに注意したい。
（問１の解答その３参照）

168 名前：元塾講師：2005/09/15 14:47

>>166について：
初心者の方には、初めに書いてることの意味が分かりにくかったと思いますので、具体的に
教えておきますと、例えば直線2x + 3y = 5 ?とは?式を満たす点（x , y）の集合ですが
? 式 ⇔ 2x + 3y = 5 ⇔2( x - 1) + 3( y - 1) = 0 ⇔（2 , 3）・（x - 1, y - 1）= 0
　　　⇔（2 , 3）⊥（x - 1, y - 1）
であるから、これを満たす点（x , y）は点（1, 1）を含めここから、ベクトル（2 , 3）に垂直にすす
んだ位置にあればよく、このような点の集合は直線を形成するのです。
つまりなぜ?が直線の式になるのか、なぜ係数が法線ベクトルを表すのかについて言えば
直線の式にしろ、平面の式にしろ左辺は定ベクトルと（x , y）〔または（x , y , z）〕との内積の形
をしており、定数項を一方に集め=0の形にしたとしてもやはりこの式の左辺は内積の形で表現できるか
らである。
ところで数式を考えていく場合　=0　の形にして左辺を積の形にしていくことが
式を解析していく上でとても大事な数学の手段であることは既に述べた。(<<29を参考)
つまり、この「積の和を内積とみる」というのは式の解釈（方程式を解く）において超基本重要である。
（因数分解と同程度の基礎事項）

169 名前：元塾講師：2005/09/15 14:49

更に補足すれば、このように「積の和を内積とみる」考え方は、（方程）式の解釈において
このように重要であるが、それのみならず積の和の値域の不等式評価にとっても重要な変形
である。
即ち、-│ベクa││ベクb│≦ベクa・ベクb≦│ベクa││ベクb│という
Cauchy - Schwartzの不等式に繋げるのである。

170 名前：元塾講師：2005/09/15 14:55

例えば問１　解答その１では
?の左辺において分母 = √（2x + y） = r 　(⇔｛√(2x)｝＾2 +｛√y｝＾2 = r＾2)
と固定して、この固定したr に対し、円のパラメータ表示を使えば
√(2x) = r cosθ　, √y = r ｓｉｎθ　と１パラメータθで表示できるとやったと思うが、
（もっとも、後でこの固定した'定数' rを動かす必要もない。分母、分子が1/2乗の同次式
であることを考慮すればrが消去されるのは明らか。なお前は分母＝ｒと置き換えたと表現
したが式の扱いに関しては置き換えてシンプルにするという表現で言いが、多変数関数を扱
うときは固定したとする表現が適切である。同じことと思う方もいるかもしれないが、与
えられたものを漠然と式としてみるか、変数で構成される関数と見るかで表現を変えたほ
うが読み手にもどちらの考えをもって式を扱うつもりなのかが伝わり、指針を読み手に伝
えやすい）
このとき、?の左辺は(1/√2) cosθ ＋　ｓｉｎθ　と簡単に表示される。これは、
積の和であり、これを2ベクトル(1/√2 , 1) と　(cosθ, ｓｉｎθ)の内積と解釈する習慣
（>>168で示したように、積の和⇔内積）があれば、Cauchy - Schwartzの不等式より
(1/√2) cosθ ＋　ｓｉｎθ ≦│(1/√2 , 1)││(cosθ, ｓｉｎθ)│= √(3/2)　　と評価できる。
尚Cauchy - Schwartzの不等式の等号成立は内積が大きさの積に等しいのだから、
2ベクトルのなす角が0かπのとき。（前者はCauchy - Schwartzの不等式の右の等号、
後者は左の等号）

171 名前：元塾講師：2005/09/15 15:06

話がそれてきましたが、「多変数関数の扱い」を今後もう少しやります。

172 名前：元塾講師：2005/09/15 15:14

>>164 訂正！
L上の点Ｘ　( a ,b ,c )が満たすべき条件は
→　　L上の点Ｘ　( x ,y ,z )が満たすべき条件は

173 名前：図書館浪人：2005/09/15 23:19

はじめましてー。これからはじめから解いていこうと思います。
質問しまくると思いますがよろしくお願いします

174 名前：155でつ：2005/09/16 02:10

よく考えればそうですね。
ありがとうございます。
（方針も自分が考えたものと全く同じでした）

175 名前：匿名さん：2005/09/16 07:50

問１の愚直なスタイルの回答

右辺≧左辺＞0だから、両辺をそれぞれ２乗して比較して構わない。
さらに√x=αと置いて右辺^2-左辺^2を作ると、与式は
(k^2)(2α^2 + y)ー(α^2 + 2・√ｙ・α +y)≧0
（ただし、α＞0） と同値。
αについて降べきの順に整理して、与式はさらに
(2k^2 -1)α^2 - 2√y・α + (k^2-1)・y ≧0 と同値。

左辺をαの関数としてグラフを考えれば、題意を満たすためには
2k^2-1≧0でなければならないのは明らか。このとき、、左辺が
最小値を取るのは、α(=√x)=√y/(2k^2-1) となり、これは
確かにα＞0の範囲にある（これを端折ると減点だろうなぁ）。

この式左辺をαについての２次式とみて判別式Dをとると、

D/4 = y -(2k^2 -1)(k^2-1)・y
　　= y{ 1-(2k^2 -1)(k^2-1) }
y＞0より、k^2=κ（κ≧0）とおいた上で上の式を整理して
-2κ^2 + 3κ≦0
これよりκ≧3/2 → k<0は明らかに不適だから、k≧√(3/2)。

判別式を取るとyが消えちゃうのが、タナボタ的ではありますが。

176 名前：元塾講師：2005/09/16 13:30

>>175
まず、証明すべき内容を分かりやすく言い換えていく（同値変形）。
更に文字式の証明をしっかり関数論として考え、すべての～に対し0以上の証明→最小値でさえ0以上
という考えを使えています。
この2つの重要ポイントを把握している答案なので、とても模範的な解答だと思いますし、
正しい論証が出来ていますね。
もし、ｙが消えなければ、すべてのｙ＞0に対しD≦0を満たすｋの条件を求めていくだけで
同じような考えを繰り返すだけですので、普遍性があります。初めにｙを固定し
αを動かした時での条件を求め、次にｙを動かして考えるというのは文字固定法の
考え方です。
尚、細かいことを言えば、2k^2 -1= 0 のときは、2次式にならないのでこのときに題意が満たされるかは
別個に議論したほうがいいのと、判別式という言葉は2次方程式に関するものなのでその点も注意しましょう。

177 名前：図書館浪人：2005/09/19 08:42

パソコン見ながらだとやりづらいからプリントアウトしてみたのだが五十枚。。笑
がんがります。

178 名前：元塾講師：2005/09/19 10:02

問28：xy平面内の領域-1≦x≦1, -1≦y≦1において1 - ax - by - axyの最小値が正とな　
　　　　るような定数a, bを座標とする点（a, b）の範囲を図示せよ。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（2000　東大文系）

179 名前：元塾講師：2005/09/19 10:10

解答：　　x,yが -1≦x≦1, -1≦y≦1を満たして動くときの
1 - ax - by - axy = -a(1+y) x + (1-by) の最小値mについて考える。
yを -1≦y≦1の範囲のある値に固定して考え、上のxの（1次以下の）関数をf(x) とおく。
?）a＞0のとき：　-a(1+y)≦0であるから、f(x) の-1≦x≦1における最小値は、x = 1の時で、
　　　　　　　　　　　　f (1) = 1- a - (a + b) y ここでyを -1≦y≦1の範囲で動かして考えると、
　　　　　　　　　　　　　これはy = -1か1のと最小値をとり、m = ｍｉｎ{1 + b , 1 - 2a - b }
?）a = 0のとき：　-a(1+y) = 0であるから、f(x) は定数関数1- by であり、
　　　　　　　　　　　　　ここでyを -1≦y≦1の範囲で動かして考えると、
　　　　　　　　　　　　　これはy = -1か1のと最小値をとり、m =ｍｉｎ{1 + b , 1 - b }
?）a＜0のとき：　-a(1+y)≧0であるから、f(x) の-1≦x≦1における最小値は、x = -1ので、
　　　　　　　　 f (-1) = 1 + a + (a - b) y ここでyを -1≦y≦1の範囲で動かして考えると、
　　　　　　　　　　　　これはy = -1か1のと最小値をとり、m =ｍｉｎ{1 + b , 1 + 2a - b }
以上より、求める条件m＞ 0というのは
a＞0のとき1 + b ＞0 かつ 1 - 2a - b ＞ 0
a = 0のとき1 + b ＞0 かつ 1 - b ＞0
a＜0のとき1 + b ＞0 かつ 1 + 2a - b ＞ 0
これを満たす点（a , b）の範囲を図示すると、点（0 , 1）、点（1 , -1）、点（-1 , -1）を３頂点と
する三角形の内部になる（図は略、境界は含まず）。

180 名前：元塾講師：2005/09/19 10:13

解説：x , y 独立2変数関数の最小値を文字固定法により、忠実に求めていく方針での解答
である。まずどちらを固定するかであるが、登場回数はどちらも同じなので、多い方を固定
したほうがシンプルに扱えるという法則は使えないが、xについてといたほうが式のまとま
りは明らかによいので、初めにyを固定（定数と見なす）して、（とりあえずxの関数の）
最小値を考えていきましょう。もっとも、図示するだけなので最後まで厳密に最小値を求め
る必要はありません。上の解答のｍｉｎ｛a , b｝はa , bのうち大きくないほう（a , bの
小さいほうか、等しい場合はどちらか。）という意味です。
「～のときは、～が最小値で」また、「～のときは、～が最小値で」という場合分けをいく
つも並べるよりは、むしろ最小値の候補を絞り込み、そのいずれもが正であればよいという
（アバウトな）形で表現したほうが、図示も遥かに楽である。（この考えも大切！）
この「ある程度の候補までで止めておくという考え」をもっと押し進めると次のような別解
でもよいと考える。

181 名前：元塾講師：2005/09/19 10:21

別解：　　　1 - ax - by - axy = - (ax + b)(y +1) + 1+b　?
ここで-1≦y≦1のときy +1は0以上２以下の値をとって連続的に動き、
-1≦x≦1 のときax + bは- a + b から a + bまでの値で（独立に）連続的に動くので、
よってその積(ax + b)(y +1)の最大値は、0か２（- a + b）か２（a + b）のうち最大のものであり、
従って?の最小値は、これらのときの1 + b , 1 + 2a -b , 1 - 2a - b のうち最小のもの。
よって求める条件は、1 + b ＞0かつ 1 + 2a -b＞0 かつ 1 - 2a - b＞0　（答）　図は略。

182 名前：元塾講師：2005/09/19 10:25

別解の解説：
?の変形は自然としたくなる変形であるはず。変数（動くもの）をまとめていく変形である。そ
もそもこのAxy +Bx + Cy + D が、(ax +b )(cx + d)の展開として出現すること、逆に定数の
ずれを補正すれば前者が後者に因数分解できることは、整数論や、双曲線の式として図示するた
めでもよく使う変形でしょう。
さて、本別解でのポイントは結局今回の関数の最小値が（x , y） = (1 , 1) , (1, -1) ,
(-1 , 1) , (-1, -1) のいずれか（極端な4例）で実現できることを述べることと。
最小値＞0　⇔　（最小値を含め、すべての場合）＞0　
という考えである。
つまり最小値＞0であるならば、「最小値より大きな値が0であるのは当然必要でなおかつ
最小値も＞0である」としてやることで、必要十分条件を、細かい場合分けをせずに一気に
書けてしまうのである。この点は解答１においても同じ注意をもって、見ておいて下さい。

183 名前：元塾講師：2005/09/19 10:34

問29：
a , bは実数で、b≠0とする。xy平面に原点O ( 0 , 0)および2点P ( 1 , 0) , Q ( a , b )を
とる。
（1）△OPQが鋭角三角形となるためのa , bの条件を不等式で表し、点( a , b )の範囲
をab平面上に図示せよ。
（2）m , nを整数とする。a , bが（1）で求めた条件をみたすとき、
不等式 ( m + na)＾2 - ( m + na) + n＾2b＾2 ≧0が成り立つことを示せ。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（1998　東大文系）

184 名前：元塾講師：2005/09/19 10:35

解答：
（1）
∠POQ ＜90°⇔　cos ∠POQ ＞0 ⇔ベクOP・ベクOQ＞0⇔ a＞0 　?
∠OPQ ＜90°⇔　cos ∠OPQ ＞0 ⇔ベクPO・ベクPQ＞0⇔ a＜1 　　?
∠OQP ＜90°⇔　cos ∠OQP ＞0 ⇔ベクQO・ベクQP＞0⇔ a＾2 - a + b＾2＞0　　?
以上の3条件を満たす ( a , b )の範囲をab平面上に図示する。（図は略）

185 名前：元塾講師：2005/09/19 10:36

解答：
(2) 　(1)の条件の時、b＾2＞a - a＾2　であり、またn＾2≧0より、
( m + na)＾2 - ( m + na) + n＾2b＾2 ≧( m + na)＾2 - ( m + na) + n＾2(a - a＾2)
= (2mn - n + n2) a + ( m2 - m )　　（※）
最後の式、これをa の関数と考え、f (a) とおく。但し定義域は（１）より0＜a＜1。
?）　(2mn - n + n2)≧0 のとき、f (a) はa の（広義の）増加関数であり、
　　　　　f (a)≧f (0) = m＾2 - m≧0　
　〔∵一般にkが整数の時、k＾2 - k = k (k - 1)は連続する2整数の積で正×正、負×負、
　　　　あるいは一方0、のいずれにせよ0以上となる〕
?） (2mn - n + n2)＜0 のとき、f (a) はa の（狭義の）減少関数であり、
　　　　　f (a)＞f (1) = (m+ n)＾2 - (m +n)≧0

186 名前：元塾講師：2005/09/19 10:38

以上の?）?）いずれにせよ、0＜a＜1のとき、f (a)≧0よって（※）より、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　( m + na)＾2 - ( m + na) + n＾2b＾2 ≧0　　。

187 名前：元塾講師：2005/09/19 10:40

解説：
（１）
解答は2ベクトルｉ　，ｊのなす角θ＜90°⇔cos θ =　ｉ　・　ｊ /│ｉ││ｊ│＞0⇔ｉ　・　ｊ＞0
という言い換えを使っています。
O, Pが決められていてQの位置を条件に沿うように決めるだけなので、図で考えてもよい
でしょう。三角形のそれぞれの内角が90°になるような補助線、補助円を書けば、それら
を境にどちら側にあるべきかを簡単に論じればよいでしょう。

188 名前：元塾講師：2005/09/19 10:43

解説：
(２)
示すべき式をまずどのように整理していくかであるが、2b＾2を消去して文字数を減らせるの
はよいでしょう。それでもm,n ,aの3文字が入った式である。m,n ,aはそれぞれ独立して
比較的自由に動けるので、どのように動いても0以上を示すとすれば、3変数関数として捉
える立場からは最小値を求めてそれが0以上を示すことになる。独立3変数関数と見る場合、
動くものは一つにして後はとりあえず固定して仮の最小値を求め、後で固定をはずしながら
最小of最小を求める方針となるが、まずどれを固定し
どの文字についての関数と見なすかについては、登場回数が多い文字は固定したほうがよ
いし、なるべく次数の低い文字について整理したほうが扱い易いことが多いので、これら
を参考に決める。本文の場合、m, nは整数という特殊な変数なので、これにつれの動きは
分かりにくい、これらは定数と見なし（固定して）、連続して動く（関数論として微分法
などで解析しやすい）aのみを変数とまずは見なすべきだろう。f (a)は一次式か定数な
ので、直線のグラフを形成することを考えれば、最小値はアバウトに言えば両端点の
小さいほう（大きくないほう）である。
尤も、その値はとれないので、実際に最小値という言葉は使えない。不等式評価として
答案を書きましょう。f (a) の下限を(m+ n)＾2 - (m +n)として、この最小は一文字
について整理し、再び関数論として話を展開するまでもなく、因数分解をすれば式とし
ての0以上はすぐ示せる。

189 名前：元塾講師：2005/09/19 10:49

問30：　　　
3個の赤玉とn個の白玉を無作為に環状に並べるものとする。
このとき白玉が連続してk + 1 個以上並んだ箇所が現れない確率を求めよ。
ただし、n /3 ≦k ＜n /2とする。 　　　　 (1989　東大)

190 名前：元塾講師：2005/09/19 10:51

解答：　環状に並べたものに、図のように１～n+3まで反時計周りに座席番号をつける。
どのような状況であれ、必要なら適当に回転して、1番目に赤玉を持っていくことが出来るの
で、このように決めて玉の配列状態を考えても差し支えない。
他の2つの赤玉の位置をa , b 番目(2≦a＜b ≦n + 3 ) とおくと、( a , b )の位置の決め方
は(n+2)C2通りであり、この一通り一通りは同様に確からしい。このうち題意を満たすような
（a , b ）のとり方が何通りあるか考える。
白玉は、2 ～ (a -1)番目まで、 (a + 1) ～(b - 1)番目まで、 (b + 1) ～ (n + 3)番目まで
配列しているので、条件は a - 2≦k かつ b - a - 1≦ k かつ n - b + 3 ≦k
　　　⇔ a ≦k + 2 かつ n - k + 3≦ b ≦a + k + 1　（☆）
まず、これを満たすb が存在するにはn - 2k + 2 ≦ a ≦k + 2が必要で、このときaを固定すれば、それに対しbは(a + k + 1) - ( n - k + 3 ) + 1 = a + (2k - n - 1)通りとれる。
よって☆を満たす( a , b )の決め方は、ここでa を動かして考えると、
Σ〔a = (n - 2k + 2)　～　(k + 2)〕｛a + (2k - n - 1)｝　= 1 + 2 + …… + (3k - n + 1)　
= 1/2 (3k - n + 1) (3k - n + 2)　 。　　　　よって求める確率は　
｛1/2 (3k - n + 1) (3k - n + 2) ｝/　(n+2)C2 = (3k - n + 1) (3k - n + 2)/ (n + 2) ( n + 1)　…（答）

191 名前：元塾講師：2005/09/19 10:53

解説：　　確率の定義はA/Uである。ここで、Uはすべての場合の数、Aは求める場合の
場合の数である。したがって定義によれば、確率を求める問題は、場合の数を数える
問題に帰着される。但し、この定義の式でもっとも大事な点は、基準とする（分母の）
場合の数の一通り一通りが「同様に確からしい」ような基準を選ぶことである。その為
には適当に区別したり（一般には赤玉をR1,R2,R3 白玉をW1,W2などど区別すると
一通り一通りが厳密に同様に確からしい環境のもとで考えられる。但しあんまり区別し
すぎると計算がややこしくなり計算も煩雑化し、考えにくくなることもあり、慣れた人
ほど区別をしないで計算していくことになる。但し、一通り一通りが同様に確からしい
点に反してしまえば、当然0点になるのでいつもこの一通り一通りが
「同様に確からしい」か？には注意する必要がある）
さて、本解のように場合の数を考えていく場合、あとは数を数えるだけの問題になるが、
動くものが2つ（赤玉）なので、2つ一遍に動かしても訳けが分からなくなるので、題意
を満たすような動かし方について考える場合、まず一つ目を（座席番号の小さい方）
をa番目に固定し、2つ目がどこにあるべきか（何通り取れるか）を統計立てて考えてい
くことになる。
この点は独立2変数関数の扱いと同じである。これを図の上で説明してもいいし、
図で説明するのが、「たるい」のであれば、本解のように式を使って述べた方が説明し
やすいかもしれない。

192 名前：元塾講師：2005/09/19 10:58

コラム：（受験数学には不要の内容です。興味ない人は飛ばして下さい。）
ところで「同様に確からしい」の「らしい」とは何を意味しているか理解できているでしょうか？
日本語の「らしい」とは一般に伝聞、推定の意味があろうかと思いますが、ここでは勿論「推定」
です。例えばさいころを振って1の目が出る確率は、同程度におこると推定できる１の目が出る場合、
2の目が出る場合、……6の目が出る場合の６通りがあるうちの（すべての場合の数）、題意を満た
す場合の数は１通りあるということで定義により1/6 とするということになりますが、ここで、
分母たる6通りがホントに同確率に起こるかは分かりません。各人の脳構造の問題から、１がもっ
とも出やすいのではないかという直感、霊感をお持ちの者もいるでしょう。しかし、さいころを振
る操作を一万回、十万回行なえばなんとなく１の目が出る場合、2の目が出る場合、……6の目が出
る場合の６通りが同様に確からしいことが分かってくると思います。つまりこの「らしい」という
感覚は現実感覚から得られるものですので、もし、占い師のように（次に何の目が出るかについて）
現実離れをした感覚をお持ちの方は、この現実感覚を磨いてもらわなくてはなりません。
そもそも、数学は現実離れした学問です。これは、地球が右周りであろうと、左周りの状態であろ
うと成立するし、この世に人類が存在していなくても成り立つ法則、理論なのです。
例えば３平方の定理は人類が存在していなくても存在しているでしょう。（存在するには認識の
主体がいると考える場合には、存在しているとは言えない恐れもありますが…）。
あるいは１つの法則から（例えば地軸が６０°位あったらとか、）出発して１つの新世界を作る
ことが出来るのも数学なのです。
そしてもし、ある１つの定義式、数式から、数学的論証を使って一つの世界を作った場合、その
もとの式はその世界の神＝創始者ということになります。また、ある１つの定義式、数式から
現在の人類が受け入れている状況（地球がなぜ右回りに回っていたり、お互い偶然に生を享受し
た存在であり、楽しくやれたはずなのに、互いを低めあうような妙な競争意識が生じ、無生産的
な戦争するのはなぜか）を作り出せたとしたら、その式はこの世界の神になります。
数学はそのように演繹性をもちまた、普遍性があり、ピタゴラスが「万物の根源は数である」
といった程なのですが、確率・統計は明らかにそのような数学理念から離れたものです。
というのも確率は現実的数学であり、将来の出来事の平均的な発生可能性を予測する為の
応用数学（数学的手法の応用）ですので、常に現実感覚に沿うものでなければなりません。
したがってその出発点もあの世は知らないけれども、この世の「～らしい」という現実感覚
が必要なので、常に現実に迎合するように進めなければならない、数学らしくない分野とい
えるでしょう。
とはいえ現実問題、受験で絶対的に必要な知識は確率 = A/Uという定義だけです。
これをよく理解していれば、あとは場合の数を数えるだけの問題ですから結局注意力や、
式の扱いの問題で差がつくことになります。 単純な操作に帰着できるわけですから、
確率の問題は絶対に落とさないようにしましょう。

193 名前：元塾講師：2005/09/23 08:06

問31：
xy平面において、座標 ( x , y)が不等式x≧0 , y≧0 , xy≦1をみたすような点P ( x , y)の
作る集合をDとする。三点A ( a , 0) ,B ( 0 , b) ,C( c , 1/c)を頂点とし、Dに含まれる
三角形ABCはどのような場合に面積が最大となるか。また面積の最大値を求めよ。
ただしa≧0 , b≧0 , c＞0とする。　　　（1986　東大）

194 名前：元塾講師：2005/09/23 08:09

解答１：　　Cより引いた双曲線の接線とx軸 , y軸の交点Q , Rをとおくと、
△ ABCが双曲線に含まれる条件はAがOQ上にあり、BがOR上にあること。
Cを固定して考えるとA , Bは独立してこの範囲内で動ける。
ここで更に、Bを固定しAの位置のみを動かして考えていくが、
?）Bをb＜cの位置に固定した時（BCの傾きが正になるように固定した時）、
　　△ABCはA＝Qのとき（BCを底辺と見るとこのとき高さが最大になる）最大で、
　　次にBの固定をはずすとB = Oのとき△ABCの面積は最大になる。
　　　　よって　　△ABC≦△QBC≦△QOC
?）Bをb≧cを満たすようにとる時、同様に
　　△ABC≦△OBC≦△ORC

195 名前：元塾講師：2005/09/23 08:10

ここでC( c , 1/c)とおくと接線はy = (-1/c＾2) x + 2/c であるから、Q( 2c , 0) R( 0 , 2/c)
であり、△QOCと△ORCの面積は共に1で等しい。
よって求める△ABCの面積の最大値は１。これは△QOCか△ORCにおいて可能である。
(「a = 2c かつb = 0｣ 又は「a = 0 かつb = 2/c｣のとき。）　　　（答）

196 名前：元塾講師：2005/09/23 08:11

解説：
予選決勝法（3変数関数）の解答であることを前面に押し出した答案にしてみました。
まず△ABCがDに含まれる条件は、Cにおける接線を補助線として引いて、考えるべきでしょう。
辺CAにおいてAがx軸無限の点にあるとすると、辺CAは双曲線と以外での共有点を
持つことは明らか。C以外に共有点を持たなくなる境目が接線であるのは図で考えれば
明らかでしょう。また、辺CBについても同様に考え、最後に△ABCが△OQRに含まれれば、
辺ABがD内になるのは自明。
あとはABCが△OQRに含まれるように動かして考えていくだけ。
（CがQRの中点になることも注意）といっても一気に動かしても訳がわからないので、固定
しながら1つずつ動かして、その固定をはずして……
というのを繰り返して、最大　of　最大を探し出す。

発展：CがCにおける双曲線の接線と漸近線の交点Q , Rの中点になること、
三角形OQRの面積が（Cの位置に依らず）一定であること等は双曲線の性質として有名。
逆にいえば、容器に水を入れて揺らした時の水面の包絡線が双曲線になる。
双曲線とはそんな性質を持つ曲線である。

197 名前：元塾講師：2005/09/23 08:11

これと関連して、双曲線上の点の（漸近線の2方向ベクトルを使った）パラメータ表示はご存知だろうか？

198 名前：元塾講師：2005/09/23 08:13

解答2：
Cより引いた双曲線の接線とx軸 , y軸の交点Q , Rをとおくと、
△ ABCが双曲線に含まれる条件はAがOQ上にあり、BがOR上にあること。
ここでC( c , 1/c)とおくと接線はy = (-1/c＾2) x + 2/c であるから、Q( 2c , 0) R( 0 , 2/c)。
よって条件は 0 ≦a ≦2c , 0 ≦b ≦2/c　…（※）
ベクトルAC = (a - c , -1/c ) , ベクトルBC = ( -c , b - 1/c)で形成される
△ABCの面積は1/2 │(a - c) (b - 1/c) - 1│
ここで（※）のとき、│a - c│≦c , │b - 1/c│≦2/c ∴│(a - c) (b - 1/c)│≦１
よって、△ABCの面積は (a - c) (b - 1/c) = -1 のとき (「a = 2c かつb = 0｣ 又は
「a = 0 かつb = 2/c｣のとき。）、最大値１をとる。　　（答）

199 名前：元塾講師：2005/09/23 08:15

>>198 訂正！下から3行目
│b - 1/c│≦2/c →│b - 1/c│≦1/c

200 名前：元塾講師：2005/09/23 08:16

解説：
求める図形量は容易に数式表現できるので、式上で議論してもよいであろう。
むしろこちらのほうが論じやすいし用意なことも多い。（逆も多いが）
私としては図形的考察が好きなので、まず図形的に考えるくせがあるが、どちらのアプローチを重視するかは好みの問題かも知れない。
ところで本問題集を通して、受験数学で諸君が身につけるべきポイントは
式処理と図形的考察である。この２つに尽きるのである。分野などを超えて、この２つの
テクニックを把握し、相互関係や組み合わせ方まで把握できれば、よい解答を自ら作れる
ようになってくるはずである。ご存知のように、今までは式処理中心に話を進めてきたが、
確率の問題を少し挟んだ後（確率は式処理の問題として考えている）、後半は図形的考察
を中心に進めたいなと思っています。
まずはそれぞれのテクニック、重要事項を把握たうえで、最後に全体を振り返って式処理
と図形的考察が行き来できるように復習をして欲しい。これが本問題集の目的の最大のも
のである。